በ “የእኩልታዎች ስርዓት” ውስጥ ሁለት ወይም ከዚያ በላይ እኩልዮሾችን በአንድ ጊዜ እንዲፈቱ ይጠየቃሉ። ሁለቱ እኩልታዎች ሁለት የተለያዩ ተለዋዋጮች ሲኖራቸው ፣ ለምሳሌ x እና y ፣ መፍትሄው መጀመሪያ ላይ ከባድ መስሎ ሊታይ ይችላል። እንደ እድል ሆኖ ፣ አንዴ ማድረግ ያለብዎትን ካወቁ ፣ ችግሩን ለመፍታት በቀላሉ የአልጀብራ ችሎታዎን (እና ክፍልፋዮችን የማስላት ሳይንስ) መጠቀም ይችላሉ። እርስዎ የእይታ ተማሪ ከሆኑ ወይም በአስተማሪው የሚፈለጉ ከሆኑ እነዚህን ሁለት እኩልታዎች እንዴት መሳል እንደሚችሉ ይማሩ። ስዕሎች ርዕሰ ጉዳዩን ለመለየት ወይም የሥራዎን ውጤት ለመፈተሽ ይረዱዎታል። ሆኖም ፣ ይህ ዘዴ ከሌሎቹ ዘዴዎች ቀርፋፋ ነው ፣ እና ለሁሉም የእኩልታዎች ስርዓቶች ጥቅም ላይ ሊውል አይችልም።
ደረጃ
ዘዴ 1 ከ 3 - የመተኪያ ዘዴን መጠቀም
ደረጃ 1. ተለዋዋጭዎቹን ወደ ቀመር ተቃራኒው ጎን ያንቀሳቅሱ።
የመተካካት ዘዴ የሚጀምረው በአንዱ እኩልታዎች ውስጥ “የ x ዋጋን” (ወይም ሌላ ማንኛውንም ተለዋዋጭ) በማግኘት ነው። ለምሳሌ ፣ የችግሩ እኩልነት ይበል 4x + 2y = 8 እና 5x + 3y = 9. በመጀመሪያው ቀመር ላይ በመስራት ይጀምሩ። በሁለቱም በኩል 2y በመቀነስ እኩልታውን እንደገና ያስተካክሉ። ስለዚህ ፣ እርስዎ ያገኛሉ 4x = 8 - 2y.
ይህ ዘዴ ብዙውን ጊዜ መጨረሻ ላይ ክፍልፋዮችን ይጠቀማል። ክፍልፋዮችን መቁጠር ካልወደዱ ከዚህ በታች ያለውን የማስወገጃ ዘዴ ይሞክሩ።
ደረጃ 2. የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች “የ x ዋጋ ለማግኘት” ይከፋፍሉ።
አንዴ x (ወይም እርስዎ የሚጠቀሙት ማንኛውም ተለዋዋጭ) የሚለው ቃል በእኩልታው አንድ ወገን ላይ ብቻ ከሆነ ፣ ተለዋዋጭው ብቻ እንዲቆይ የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በተባባሪዎቹ ይከፋፍሏቸው። እንደ ምሳሌ -
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2 ይ/4)
- x = 2 - y
ደረጃ 3. ከመጀመሪያው ቀመር የ x እሴቱን ወደ ሁለተኛው ቀመር ይሰኩት።
አሁን ከሠሩት ይልቅ ወደ ሁለተኛው ቀመር መሰካቱን ያረጋግጡ። በሁለተኛው ቀመር ውስጥ ተለዋዋጭ x ን ይተኩ (ይተኩ)። ስለዚህ ፣ ሁለተኛው ቀመር አሁን አንድ ተለዋዋጭ ብቻ አለው። እንደ ምሳሌ -
- ይታወቃል x = 2 - y.
- ሁለተኛው ቀመርዎ ነው 5x + 3y = 9.
- በሁለተኛው ቀመር ውስጥ የ x ተለዋዋጭን ከመጀመሪያው ቀመር ከ x እሴት ጋር ከቀየርን በኋላ “2 - y” እናገኛለን - 5 (2 - y) + 3y = 9.
ደረጃ 4. ቀሪዎቹን ተለዋዋጮች ይፍቱ።
አሁን የእርስዎ ቀመር አንድ ተለዋዋጭ ብቻ ነው ያለው። ተለዋዋጭውን ዋጋ ለማግኘት ከተለመደው የአልጀብራ ክዋኔዎች ጋር እኩልታውን ያሰሉ። ሁለቱ ተለዋዋጮች እርስ በእርሳቸው ከሰረዙ በቀጥታ ወደ መጨረሻው ደረጃ ይዝለሉ። አለበለዚያ ለአንዱ ተለዋዋጮች ዋጋ ያገኛሉ -
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (ይህንን ደረጃ ካልተረዱ ፣ ክፍልፋዮችን እንዴት እንደሚጨምሩ ይማሩ።)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
ደረጃ 5. በመጀመሪያው ቀመር ውስጥ የ x እውነተኛ ዋጋ ለማግኘት የተገኘውን መልስ ይጠቀሙ።
ስሌቶችዎ ገና ስላልተጠናቀቁ ገና አያቁሙ። የተቀሩትን ተለዋዋጮች ዋጋ ለማግኘት የተገኘውን መልስ በመጀመሪያው ቀመር ውስጥ መሰካት አለብዎት ፦
- ይታወቃል y = -2
- በመጀመሪያው ቀመር ውስጥ ካሉት እኩልታዎች አንዱ 4x + 2y = 8. (አንዱን መጠቀም ይችላሉ።)
- የ y ተለዋዋጭን በ -2 ይተኩ 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
ደረጃ 6. ሁለቱ ተለዋዋጮች እርስ በርሳቸው ከተሰረዙ ምን ማድረግ እንዳለብዎ ይወቁ።
ሲገቡ x = 3y+2 ወይም ለሁለተኛው እኩልታ ተመሳሳይ መልስ ፣ ማለትም አንድ ተለዋዋጭ ብቻ ያለው ቀመር ለማግኘት እየሞከሩ ነው። አንዳንድ ጊዜ ፣ እኩልታውን ብቻ ያገኛሉ ያለ ተለዋዋጭ። ወደ መጀመሪያው ቀመር ከመመለስ ይልቅ ሥራዎን ሁለቴ ይፈትሹ እና (አንድን) ቀመር አንድን ወደ ቀመር ሁለት እንዳደረጉት ያረጋግጡ። ምንም ስህተት እንዳልሠራዎት እርግጠኛ ሲሆኑ ከሚከተሉት ውጤቶች ውስጥ አንዱን ይፃፉ
- ቀመር ምንም ተለዋዋጮች ከሌሉት እና እውነት ካልሆነ (ለምሳሌ ፣ 3 = 5) ፣ ይህ ችግር መልስ የላቸውም. (ይህ ግራፍ በሚሆንበት ጊዜ እነዚህ ሁለት እኩልታዎች ትይዩ ናቸው እና በጭራሽ አይገናኙም።)
- ቀመር ምንም ተለዋዋጮች ከሌሉት እና ትክክል ፣ (ለምሳሌ 3 = 3) ፣ ጥያቄው ያለው ማለት ነው ያልተገደበ መልሶች. ቀመር አንድ ልክ እንደ ቀመር ሁለት እኩል ነው። (ግራፍ ሲደረግ ፣ እነዚህ ሁለት እኩልታዎች ተመሳሳይ መስመር ናቸው።)
ዘዴ 2 ከ 3 - የማስወገጃ ዘዴን መጠቀም
ደረጃ 1. እርስ በእርስ የማይዛመዱ ተለዋዋጮችን ያግኙ።
አንዳንድ ጊዜ ፣ በችግሩ ውስጥ ያለው ቀመር ቀድሞውኑ ነው እርስ በእርሳቸው ይሰርዙ ሲደመር። ለምሳሌ ፣ ቀመሩን ካደረጉ 3x + 2y = 11 እና 5x - 2y = 13 ፣ “+2y” እና “-2y” የሚሉት ቃላት እርስ በእርሳቸው ይሰረዛሉ እና ተለዋዋጭውን “y” ከቀመር ያስወግደዋል። በችግሩ ውስጥ ያለውን ቀመር ይመልከቱ እና እንደ ምሳሌው እርስ በእርስ የሚሽሩ ተለዋዋጮች ካሉ ይመልከቱ። ካልሆነ ወደሚቀጥለው ደረጃ ይቀጥሉ።
ደረጃ 2. አንድ ተለዋዋጭ እንዲወገድ ቀመርን በአንዱ ማባዛት።
(ተለዋዋጮቹ እርስ በርሳቸው ከተሰረዙ ይህንን ደረጃ ይዝለሉ።) ስሌቱ በራሳቸው የሚሰረዙ ተለዋዋጮች ከሌሉት እርስ በእርሳቸው እንዲሰረዙ አንዱን ቀመር ይለውጡ። በቀላሉ እንዲረዷቸው የሚከተሉትን ምሳሌዎች ይመልከቱ።
- በችግሩ ውስጥ ያሉት እኩልታዎች ናቸው 3x - y = 3 እና - x + 2y = 4.
- ተለዋጩ እንዲሆን የመጀመሪያውን ቀመር እንለውጥ y እርስ በርሳችሁ ተወግዙ። (ተለዋዋጭውን መጠቀም ይችላሉ x. የተገኘው የመጨረሻው መልስ ተመሳሳይ ይሆናል።)
- ተለዋዋጭ - y በመጀመሪያው ስሌት ውስጥ መወገድ አለበት + 2 ይ በሁለተኛው ቀመር። እንዴት ፣ ማባዛት - y ጋር 2.
- የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በ 2 ያባዙ ፣ እንደሚከተለው 2 (3x - y) = 2 (3) ፣ ስለዚህ 6x - 2y = 6. አሁን ጎሳ - 2 ይ ጋር እርስ በእርስ ይሰረዛሉ +2 ይ በሁለተኛው ቀመር።
ደረጃ 3. ሁለቱን እኩልታዎች ያጣምሩ።
ዘዴው የመጀመሪያውን ቀመር በቀኝ በኩል ወደ ሁለተኛው ቀመር በቀኝ በኩል ማከል እና በሁለተኛው እኩልዮሽ ግራ በኩል የመጀመሪያውን ቀመር በግራ በኩል ማከል ነው። በትክክል ከተሰራ ፣ ከተለዋዋጭዎቹ አንዱ እርስ በእርስ ይሰረዛል። ስሌቱን ከቀደመው ምሳሌ ለመቀጠል እንሞክር-
- የእርስዎ ሁለት እኩልታዎች ናቸው 6x - 2y = 6 እና - x + 2y = 4.
- የሁለቱን እኩልታዎች ግራ ጎኖች ይጨምሩ 6x - 2y - x + 2y =?
- የሁለቱን እኩልታዎች የቀኝ ጎኖች ይጨምሩ 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
ደረጃ 4. የመጨረሻውን ተለዋዋጭ እሴት ያግኙ።
የመጨረሻውን ተለዋዋጭ ዋጋ ለማግኘት የእርስዎን የግቢ ቀመር ቀለል ያድርጉት እና ከመደበኛ አልጀብራ ጋር ይስሩ። ቀለል ካደረጉ በኋላ ፣ ስሌቱ ምንም ተለዋዋጮች ከሌሉት ፣ በዚህ ክፍል ውስጥ ወደ መጨረሻው ደረጃ ይቀጥሉ።
ያለበለዚያ ለአንዱ ተለዋዋጮች ዋጋ ያገኛሉ። እንደ ምሳሌ -
- ይታወቃል 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- የቡድን ተለዋዋጮች x እና y አንድ ላየ: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- እኩልታውን ቀለል ያድርጉት ፦ 5x = 10
- የ x እሴት ይፈልጉ (5x)/5 = 10/5, ለማግኘት x = 2.
ደረጃ 5. የሌላ ተለዋዋጭ ዋጋን ያግኙ።
የአንዱን ተለዋዋጭ ዋጋ አግኝተዋል ፣ ግን ሌላኛውስ? የቀረውን ተለዋዋጭ ዋጋ ለማግኘት መልስዎን በአንዱ እኩልታዎች ውስጥ ይሰኩ። እንደ ምሳሌ -
- ይታወቃል x = 2, እና በችግሩ ውስጥ ከሚገኙት እኩልታዎች አንዱ 3x - y = 3.
- የ x ተለዋዋጭውን በ 2 ይተኩ 3 (2) - y = 3.
- በቀመር ውስጥ የ y ዋጋን ይፈልጉ 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y ፣ ስለዚህ 6 = 3 + y
- 3 = ዓ
ደረጃ 6. ሁለቱ ተለዋዋጮች እርስ በርሳቸው ሲሰረዙ ምን ማድረግ እንዳለብዎ ይወቁ።
አንዳንድ ጊዜ ፣ ሁለት እኩልታዎችን በማጣመር ትርጉም የማይሰጥ ወይም ችግሩን ለመፍታት የማይረዳ ቀመር ያስከትላል። ስራዎን ይገምግሙ ፣ እና ምንም ስህተት እንዳልሰሩ እርግጠኛ ከሆኑ ከሚከተሉት ሁለት መልሶች ውስጥ አንዱን ይፃፉ
- የተጣመረ ቀመር ምንም ተለዋዋጮች ከሌሉት እና እውነት ካልሆነ (ለምሳሌ ፣ 2 = 7) ፣ ይህ ችግር መልስ የላቸውም. ይህ መልስ ለሁለቱም እኩልታዎች ይሠራል። (ይህ ግራፍ በሚሆንበት ጊዜ እነዚህ ሁለት እኩልታዎች ትይዩ ናቸው እና በጭራሽ አይገናኙም።)
- የተጣመረ ቀመር ምንም ተለዋዋጮች ከሌሉት እና ትክክል ፣ (ለምሳሌ 0 = 0) ፣ ጥያቄው ያለው ማለት ነው ያልተገደበ መልሶች. እነዚህ ሁለት እኩልታዎች እርስ በእርስ ተመሳሳይ ናቸው። (ግራፍ ሲደረግ ፣ እነዚህ ሁለት እኩልታዎች ተመሳሳይ መስመር ናቸው።)
ዘዴ 3 ከ 3: የእኩልታዎችን ግራፍ ይሳሉ
ደረጃ 1. መመሪያ ሲሰጥ ብቻ ይህንን ዘዴ ያከናውኑ።
ኮምፒተር ወይም ግራፊክ ካልኩሌተር እስካልተጠቀሙ ድረስ ይህ ዘዴ ግምታዊ መልሶችን ብቻ ሊሰጥ ይችላል። ቀመሮችን እንደ መስመሮች የመሳል ልማድ ውስጥ ለመግባት አስተማሪዎ ወይም የመማሪያ መጽሐፍዎ ይህንን ዘዴ እንዲጠቀሙ ሊነግርዎት ይችላል። ይህ ዘዴ ከላይ ከተጠቀሱት ዘዴዎች አንዱን መልሱን ለመፈተሽ ሊያገለግል ይችላል።
ዋናው ሀሳብ ሁለቱን እኩልታዎች መግለፅ እና የመገናኛውን ነጥብ መፈለግ ያስፈልግዎታል። በዚህ መስቀለኛ መንገድ ላይ የ x እና y እሴት ለችግሩ መልስ ነው።
ደረጃ 2. የሁለቱን እኩልታዎች y- እሴቶች ይፈልጉ።
ሁለቱን እኩልታዎች አያጣምሩ ፣ እና ቅርጸቱ “y = _x + _” እንዲሆን እያንዳንዱን ቀመር ይለውጡ። እንደ ምሳሌ -
- የመጀመሪያው ቀመርዎ ነው 2x + y = 5. ወደ ይለውጡ y = -2x + 5.
- የመጀመሪያው ቀመርዎ ነው - 3x + 6y = 0. ወደ ይለውጡ 6 ይ = 3x + 0, እና ለማቅለል y = x + 0.
- የእርስዎ ሁለት እኩልታዎች በትክክል ተመሳሳይ ከሆኑ ፣ መላው መስመር የሁለቱ እኩልታዎች “መገናኛ” ነው። ጻፍ ያልተገደበ መልሶች እንደ መልስ።
ደረጃ 3. አስተባባሪ መጥረቢያዎችን ይሳሉ።
በግራፍ ወረቀቱ ላይ ቀጥ ያለ “y-axis” መስመር እና አግድም “x-axis” መስመር ይሳሉ። ሁለቱ መጥረቢያዎች ከሚገናኙበት (0 ፣ 0) ነጥብ ጀምሮ ፣ የቁጥር መለያዎችን 1 ፣ 2 ፣ 3 ፣ 4 እና የመሳሰሉትን ይፃፉ ፣ በቅደም ተከተል y- ዘንግ ላይ በመጠቆም ፣ እና በ x ዘንግ ላይ ወደ ቀኝ በመጠቆም።. ከዚያ በኋላ የቁጥር መሰየሚያዎችን -1 ፣ -2 እና የመሳሰሉትን በቅደም ተከተል ወደ y- ዘንግ በመጠቆም በ x ዘንግ ላይ ወደ ግራ በመጠቆም ይፃፉ።
- የግራፍ ወረቀት ከሌለዎት ፣ በእያንዳንዱ ቁጥር መካከል ያለው ክፍተት በትክክል አንድ መሆኑን ለማረጋገጥ ገዥ ይጠቀሙ።
- ብዙ ቁጥሮችን ወይም አስርዮሽዎችን የሚጠቀሙ ከሆነ ፣ ከ 1 ፣ 2 ፣ 3 ይልቅ ግራፍዎን (ለምሳሌ 10 ፣ 20 ፣ 30 ወይም 0 ፣ 1 ፣ 0 ፣ 2 ፣ 0 ፣ 3 ን) እንዲያሳድጉ እንመክራለን።
ደረጃ 4. ለእያንዳንዱ ቀመር የ y-interception ነጥብ ይሳሉ።
ስሌቱ በቅጹ ውስጥ ከሆነ y = _x + _ ፣ የእኩልታ መስመር ከ y ዘንግ ጋር የሚያገናኝበትን ነጥብ በማድረግ ግራፍ መሳል መጀመር ይችላሉ። የ y እሴት ሁል ጊዜ በቀመር ውስጥ ካለው የመጨረሻው ቁጥር ጋር ተመሳሳይ ነው።
-
ቀዳሚውን ምሳሌ በመቀጠል ፣ የመጀመሪያው መስመር (y = -2x + 5) የ y- ዘንግን በ
ደረጃ 5.. ሁለተኛ መስመር (እ.ኤ.አ. y = x + 0) የ y- ዘንግን በ 0. (እነዚህ ነጥቦች የተጻፉት (0 ፣ 5) እና (0 ፣ 0) በግራፉ ላይ)።
- የሚቻል ከሆነ የመጀመሪያ እና ሁለተኛ መስመሮችን በተለያዩ ባለቀለም እስክሪብቶች ወይም እርሳሶች ይሳሉ።
ደረጃ 5. መስመሩን ለመቀጠል ቁልቁሉን ይጠቀሙ።
በቀመር ቅርጸት y = _x + _ ፣ ከ x ፊት ያለው ቁጥር የመስመርን “ተዳፋት ደረጃ” ያመለክታል። X በአንድ በአንድ ሲጨምር ፣ የ y ዋጋ በተዳፋት ደረጃዎች ብዛት ይጨምራል። X = 1. በሚሆንበት ጊዜ በግራፉ ላይ ለእያንዳንዱ መስመር ነጥቦችን ለማግኘት ይህንን መረጃ ይጠቀሙ (እንዲሁም በእያንዳንዱ ቀመር x = 1 ማስገባት እና የ y ዋጋን ማግኘት ይችላሉ።)
- ቀዳሚውን ምሳሌ በመቀጠል ፣ መስመሩ y = -2x + 5 ቁልቁለት አለው - 2. ነጥብ x = 1 ላይ ፣ መስመሩ ይንቀሳቀሳል ወደታች በ 2 ከ ነጥብ x = 0. (1 ፣ 3) ጋር (0 ፣ 5) የሚያገናኝ መስመር ይሳሉ።
- መስመር y = x + 0 ቁልቁለት አለው ½. በ x = 1 ፣ መስመሩ ይንቀሳቀሳል ማሽከርከር ከ ነጥብ x = 0። (0 ፣ 0) ከ (1 ፣) ጋር የሚያገናኝ መስመር ይሳሉ።
- ሁለት መስመሮች ተመሳሳይ ቁልቁል ካላቸው ፣ ሁለቱ ፈጽሞ አይገናኙም። ስለዚህ ይህ የእኩልታ ስርዓት መልስ የለውም። ጻፍ መልስ የለም እንደ መልስ።
ደረጃ 6. ሁለቱ መስመሮች እስኪያቋርጡ ድረስ መስመሮቹን ማገናኘቱን ይቀጥሉ።
ሥራ አቁሙና ግራፍዎን ይመልከቱ። ሁለቱ መስመሮች እርስ በእርስ ከተሻገሩ ወደ ቀጣዩ ደረጃ ይቀጥሉ። ካልሆነ በሁለቱ መስመሮችዎ አቀማመጥ ላይ በመመስረት ውሳኔ ያድርጉ -
- ሁለቱ መስመሮች እርስ በእርስ የሚቃረቡ ከሆነ ፣ የጭረትዎን ነጥቦች ማገናኘትዎን ይቀጥሉ።
- ሁለቱ መስመሮች እርስ በርሳቸው ከተራራቁ ተመልሰው ነጥቦቹን ከ x = 1 ጀምሮ በተቃራኒ አቅጣጫዎች ያገናኙ።
- ሁለቱ መስመሮች በጣም ከተራራቁ ፣ ለመዝለል ይሞክሩ እና ነጥቦቹን ከርቀት ለማገናኘት ይሞክሩ ፣ ለምሳሌ x = 10።
ደረጃ 7. በመገናኛው ነጥብ ላይ መልሱን ያግኙ።
ሁለቱ መስመሮች ከተቋረጡ በኋላ ፣ በዚያ ነጥብ ላይ የ x እና y እሴት ለችግርዎ መልስ ነው። እድለኛ ከሆንክ መልሱ ሙሉ ቁጥር ይሆናል። ለምሳሌ ፣ በእኛ ምሳሌ ውስጥ ሁለቱ መስመሮች ነጥቡ ላይ ይገናኛሉ (2, 1) ስለዚህ መልሱ ነው x = 2 እና y = 1. በአንዳንድ የእኩልታዎች ስርዓቶች ውስጥ ፣ መስመሩ የሚያቋርጥበት ነጥብ በሁለት ሙሉ ቁጥሮች መካከል ነው ፣ እና ግራፉ በጣም ትክክል ካልሆነ ፣ x እና y እሴቶች በመስቀለኛ መንገድ ላይ ያሉበትን ለመለየት አስቸጋሪ ነው። ከተፈቀደ “x በ 1 እና 2 መካከል” እንደ መልስ መጻፍ ወይም መልሱን ለማግኘት የመተኪያ ወይም የማስወገጃ ዘዴን መጠቀም ይችላሉ።
ጠቃሚ ምክሮች
- መልሶቹን ወደ መጀመሪያው ቀመር ውስጥ በመክተት ስራዎን መፈተሽ ይችላሉ። እኩልታው እውነት ከሆነ (ለምሳሌ 3 = 3) ፣ የእርስዎ መልስ ትክክል ነው ማለት ነው።
- የማስወገጃ ዘዴን በሚጠቀሙበት ጊዜ ተለዋዋጮቹ እርስ በእርሳቸው እንዲሰረዙ አንዳንድ ጊዜ ቀመርን በአሉታዊ ቁጥር ማባዛት አለብዎት።
