የአልጀብራ ቀመሮችን ለማምጣት 3 መንገዶች

2024 ደራሲ ደራሲ: Jason Gerald | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-01-15 08:08

በሂሳብ ፣ factoring ሲባዛ የተሰጠ ቁጥር ወይም ቀመር የሚያመጣ ቁጥሮችን ወይም አገላለጾችን የማግኘት መንገድ ነው። Factoring ቀላል አልጀብራ ችግሮችን ለመፍታት መማር ጠቃሚ ክህሎት ነው ፤ የአራትዮሽ እኩልታዎችን እና ሌሎች የብዙ ቁጥር ቅርጾችን በሚይዙበት ጊዜ በደንብ የማመዛዘን ችሎታ ፣ አስፈላጊ ይሆናል። መፍትሄዎቻቸውን ቀለል ለማድረግ የአልጀብራ መግለጫዎችን ለማቅለል ፋክቶርንግ መጠቀም ይቻላል። እራስዎ እራስዎ ከመፍታት ይልቅ አንዳንድ ሊሆኑ የሚችሉ መልሶችን የማስወገድ ችሎታ እንኳን ሊሰጥዎት ይችላል።

ደረጃ

ዘዴ 3 ከ 3 - የቁጥር ቁጥሮች እና ቀላል አልጀብራ መግለጫዎች

ደረጃ 1. በነጠላ ቁጥሮች ላይ ሲተገበር የፋብሪካውን ትርጉም ይረዱ።

ፋክተሪንግ ቀላል ፅንሰ -ሀሳብ ነው ፣ ግን በተግባር ፣ ለተወሳሰቡ እኩልታዎች ሲተገበር ፈታኝ ሊሆን ይችላል። ስለዚህ ፣ በመጨረሻ ወደ በጣም ውስብስብ ትግበራዎች ከመቀጠልዎ በፊት ፣ በቀላል ቁጥሮች በመጀመር ፣ ወደ ቀላል እኩልታዎች በመሄድ ወደ የፋብሪካው ጽንሰ -ሀሳብ መቅረብ በጣም ቀላል ነው። የቁጥር ምክንያቶች ሲባዙ ቁጥሩን የሚያወጡ ቁጥሮች ናቸው። ለምሳሌ ፣ የ 12 ምክንያቶች 1 ፣ 12 ፣ 2 ፣ 6 ፣ 3 እና 4 ናቸው ፣ ምክንያቱም 1 × 12 ፣ 2 × 6 ፣ እና 3 × 4 ከ 12 ጋር እኩል ናቸው።

• እሱን ለማሰብ ሌላኛው መንገድ የቁጥር ምክንያቶች በቁጥር እኩል ሊከፋፈሉ የሚችሉ ቁጥሮች ናቸው።

• የ 60 ቁጥርን ሁሉንም ምክንያቶች ማግኘት ይችላሉ? በሌሎች በርካታ ቁጥሮች ሊከፋፈል ስለሚችል ቁጥር 60 ን ለተለያዩ ዓላማዎች (ደቂቃዎች በአንድ ሰዓት ፣ ሰከንዶች በደቂቃ ፣ ወዘተ) እንጠቀማለን።

  የ 60 ምክንያቶች 1 ፣ 2 ፣ 3 ፣ 4 ፣ 5 ፣ 6 ፣ 10 ፣ 12 ፣ 15 ፣ 20 ፣ 30 እና 60 ናቸው።

ደረጃ 2. ተለዋዋጭ መግለጫዎች እንዲሁ ሊለኩሱ እንደሚችሉ ይረዱ።

ቁጥሮች እራሳቸው ሊለኩሱ እንደሚችሉ ፣ የቁጥሮች ተባባሪዎች ያላቸው ተለዋዋጮች እንዲሁ ሊለዩ ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ ፣ የተለዋዋጭ ተባባሪዎቹን ምክንያቶች ይፈልጉ። ተለዋዋጭውን እንዴት እንደሚለኩ ማወቅ ያንን ተለዋዋጭ የሚያካትቱ የአልጀብራ እኩልታዎችን ለማቃለል በጣም ጠቃሚ ነው።

• ለምሳሌ ፣ ተለዋዋጭ 12x እንደ 12 እና x ምክንያቶች ምክንያቶች ምርት ሆኖ ሊፃፍ ይችላል። የትኛውም 12 ምክንያቶች ለዓላማችን በተሻለ ሁኔታ እንደሚሠሩ 12x ን እንደ 3 (4x) ፣ 2 (6x) ፣ ወዘተ መጻፍ እንችላለን።

  እኛ እንኳን 12x ን ብዙ ጊዜ ማመዛዘን እንችላለን። በሌላ አነጋገር ፣ በ 3 (4x) ወይም 2 (6x) ላይ ማቆም የለብንም - 3 (2 (2x) እና 2 (3 (2x)) ለማምረት 4x እና 6x ማመዛዘን እንችላለን። በእርግጥ እነዚህ ሁለት መግለጫዎች እኩል ናቸው።

ደረጃ 3. የማባዛት አከፋፋይ ንብረትን ወደ አልጀብራ እኩልታዎች ያመልክቱ።

ሁለቱንም ነጠላ ቁጥሮች እና ተለዋዋጮች ከተዋዋጮች ጋር እንዴት ማመጣጠን እንደሚችሉ ያለዎትን እውቀት በመጠቀም ቁጥሮች እና ተለዋዋጮች በአልጀብራ እኩልታዎች ውስጥ የሚጋሩትን ምክንያቶች በማግኘት ቀላል የአልጀብራ እኩልታዎችን ቀለል ማድረግ ይችላሉ። ብዙውን ጊዜ ፣ ቀመርን ለማቃለል ፣ ትልቁን የጋራ ምክንያት ለማግኘት እንሞክራለን። ይህ የማቅለል ሂደት የሚቻለው በማናቸውም ቁጥር ሀ ፣ ለ ፣ እና ሐ ላይ በሚተገበረው የማባዛት ንብረት ምክንያት ነው። ሀ (ለ + ሐ) = ab + ac.

• አንድ ምሳሌ ጥያቄ እንሞክር። የአልጀብራ ቀመር 12x + 6 ን ለመገመት ፣ በመጀመሪያ ፣ 12x እና 6. ትልቁን የጋራ ምክንያት ለማግኘት እንሞክር።.
• ይህ ሂደት ከአሉታዊ ቁጥሮች እና ክፍልፋዮች ጋር እኩልታዎችንም ይመለከታል። ለምሳሌ ፣ x/2 + 4 ፣ ወደ 1/2 (x + 8) ፣ እና -7x + -21 ወደ -7 (x + 3) ሊቃለል ይችላል።

3 ዘዴ 2

ደረጃ 1. ስሌቱ በአራት ማዕዘን ቅርፅ መሆኑን ያረጋግጡ (መጥረቢያ² + bx + c = 0)።

ባለአራትዮሽ እኩልታዎች መልክ መጥረቢያ አላቸው² + bx + c = 0 ፣ ሀ ፣ ለ እና ሐ የቁጥር ቋሚዎች ሲሆኑ ከ 0 ጋር እኩል አይደሉም (ማስታወሻ 1 ወይም -1 ሊሆን እንደሚችል ልብ ይበሉ)። አንድ ቃል x አንድ ወደ ሁለት ወይም ከዚያ በላይ ኃይል ያለው አንድ ተለዋዋጭ (x) ያለው ቀመር ካለዎት ፣ በእኩል ምልክት እና በመጥረቢያ በሁለቱም በኩል 0 ለማግኘት ብዙውን ጊዜ እነዚህን ውሎች በቀላል ቀመር (አልጀብራ) ክዋኔዎች ውስጥ ያንቀሳቅሷቸዋል።²ወዘተ. በሌላ በኩል.

• ለምሳሌ ፣ ስለ አልጀብራ ቀመር እናስብ። 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 ወደ x ሊቀል ይችላል² + 6x + 9 = 0 ፣ እሱም ካሬ ቅርፅ ነው።
• እንደ x ካሉ ትልቅ የ x ኃይል ጋር እኩልታዎች³, x⁴ወዘተ. አራት ማዕዘን እኩልታዎች አይደሉም። ከ 2 በላይ በሆኑ ኃይሎች እነዚህን የ x ውሎች ለማስወገድ ቀመሩን ማቃለል ካልቻለ እነዚህ እኩልታዎች ፣ ወደ አራተኛው ኃይል ፣ እና የመሳሰሉት ናቸው።

ደረጃ።

ባለአራትዮሽ ቀመርዎ በ x መልክ ከሆነ² + bx + c = 0 (በሌላ አነጋገር ፣ የ x የሚለው ቃል ተባባሪ ከሆነ² = 1) ፣ ቀላሉን ለማመዛዘን ቀላል ቀላል የአጫጭር ዘዴን መጠቀም ይቻላል (ግን ዋስትና የለውም)። ሲባዙ የሚሰጡ ሁለት ቁጥሮችን ይፈልጉ ሐ እና ለማምረት ተደምሯል ለ. እነዚህን ሁለት ቁጥሮች ዲ እና ሠ ከፈለጉ በኋላ በሚከተለው አገላለጽ ውስጥ ያስቀምጧቸው (x+d) (x+e). እነዚህ ሁለት ቃላት ፣ ሲባዙ ፣ ባለአራትዮሽ ቀመርዎን ይሰጡዎታል - በሌላ አነጋገር ፣ የአራትዮሽ እኩልታዎ ምክንያቶች ናቸው።

• ለምሳሌ ፣ ባለ አራት ማዕዘን ቀመር x ን እናስብ² + 5x + 6 = 0. 3 እና 2 ተባዝተው 6 ለመስጠት እና 5 ለመስጠትም ተጨምረዋል ፣ ስለዚህ ይህንን ቀመር ወደ (x + 3) (x + 2) ማቃለል እንችላለን።

• በዚህ መሠረታዊ የአጫጭር ዘዴ ውስጥ ትንሽ ልዩነት በእራሳቸው ተመሳሳይነቶች ልዩነቶች ላይ ነው-

  • ባለአራትዮሽ ቀመር በ x መልክ ከሆነ²-bx+c ፣ የእርስዎ መልስ በዚህ ቅጽ ነው ((x - _) (x - _))።
  • ስሌቱ በ x መልክ ከሆነ²+ bx + c ፣ መልስዎ እንደዚህ ይመስላል (x + _) (x + _)።
  • ስሌቱ በ x መልክ ከሆነ²-bx -c ፣ መልስዎ በቅጹ (x + _) (x -_) ነው።
• ማሳሰቢያ - በባዶዎቹ ውስጥ ያሉት ቁጥሮች ክፍልፋዮች ወይም አስርዮሽ ሊሆኑ ይችላሉ። ለምሳሌ ፣ ቀመር x² + (21/2) x + 5 = 0 ወደ (x + 10) (x + 1/2) ተቀናብሯል።

ደረጃ 3. የሚቻል ከሆነ በቼኮች በኩል ይለኩ።

ብታምኑም ባታምኑም ፣ ላልተወሳሰቡ ባለአራትዮሽ እኩልታዎች ፣ ከተፈቀደው የፋብሪካ ዘዴ አንዱ ችግሩን መመርመር ነው ፣ ከዚያ ትክክለኛውን መልስ እስኪያገኙ ድረስ ሊሆኑ የሚችሉትን መልሶች ያስቡ። ይህ ዘዴ በምርመራ በኩልም ፋውንዴሽን በመባልም ይታወቃል። እኩልታው በቅጽ መጥረቢያ ውስጥ ከሆነ²+bx +c እና a> 1 ፣ የእርስዎ የምላሽ መልስ በቅጽ (dx +/- _) (ex +/- _) ነው ፣ መ እና ሲባዙ ሀ የሚሰጥ የ nonzero ቁጥሮች ቋሚዎች ናቸው። መሆን የለበትም ባይሆንም d ወይም e (ወይም ሁለቱም) 1 ሊሆኑ አይችሉም። ሁለቱም 1 ከሆኑ በመሠረቱ ከላይ የተገለጸውን የአጫጭር ዘዴ እየተጠቀሙ ነው።

የአብነት ችግርን እናስብ። 3x² - 8x + 4 መጀመሪያ ላይ አስቸጋሪ ይመስላል። ሆኖም ፣ 3 ሁለት ነገሮች (3 እና 1) ብቻ እንዳላቸው ከተገነዘብን ፣ ይህ ቀመር ቀላል ይሆናል ምክንያቱም መልሳችን በቅጹ (3x +/- _) (x +/- _) መሆን እንዳለበት እናውቃለን። በዚህ ሁኔታ ፣ ለሁለቱም ባዶዎች -2 ማከል ትክክለኛውን መልስ ይሰጣል። -2 × 3x = -6x እና -2 × x = -2x. -6x እና -2x እስከ -8x ድረስ ይጨምሩ። -2 × -2 = 4 ፣ ስለዚህ በቅንፍ ውስጥ የተተረጎሙት ቃላት ሲባዙ የመጀመሪያውን ቀመር ያመነጫሉ።

ደረጃ 4. ካሬውን በማጠናቀቅ ይፍቱ።

በአንዳንድ አጋጣሚዎች ልዩ የአልጀብራ ማንነቶችን በመጠቀም የአራት ማዕዘን እኩልታዎች በፍጥነት እና በቀላሉ ሊለኩ ይችላሉ። ማንኛውም ባለአራትዮሽ ቀመር በ x መልክ² + 2xh + h² = (x + h)². ስለዚህ በእርስዎ ቀመር ውስጥ የእርስዎ b እሴት ከ ‹c› እሴትዎ ስኩዌር ሥሩ ሁለት እጥፍ ከሆነ ፣ የእርስዎ ቀመር ወደ (x + (root (c))) ሊለካ ይችላል².

ለምሳሌ ፣ ቀመር x² +6x+9 ይህ ቅርፅ አለው። 3² 9 እና 3 × 2 ነው 6. ስለዚህ ፣ የዚህ ቀመር (ፎርማት) ቅርፅ (x + 3) (x + 3) ፣ ወይም (x + 3) መሆኑን እናውቃለን².

ደረጃ 5. የአራትዮሽ እኩልታዎችን ለመፍታት ምክንያቶችን ይጠቀሙ።

የኳድራክቲካል ቀመርዎን ምንም ያህል ቢያስቀምጡ ፣ እኩልታው ከተስተካከለ በኋላ እያንዳንዱን ነገር ከዜሮ ጋር እኩል በማድረግ እና እነሱን በመፍታት ለ x እሴት ሊሆኑ የሚችሉ መልሶችን ማግኘት ይችላሉ። ቀመርዎን ከዜሮ ጋር እኩል የሚያደርገውን የ x እሴት ስለሚፈልጉ ፣ ማንኛውንም ነገር ከዜሮ ጋር እኩል የሚያደርገው የ x እሴት ለ quadratic እኩልታዎ መልስ ሊሆን ይችላል።

ወደ ቀመር x እንመለስ² + 5x + 6 = 0. ይህ ቀመር ወደ (x + 3) (x + 2) = 0. ሁለቱም እኩል ከሆነ ፣ ሁሉም እኩልታዎች 0 ናቸው ፣ ስለዚህ ለ x ሊሆኑ የሚችሉ መልሶቻችን ቁጥሮች ናቸው- የሚያደርገው ቁጥር (x + 3) እና (x + 2) እኩል 0. እነዚህ ቁጥሮች በቅደም -3 እና -2 ናቸው።

ደረጃ 6. መልሶችዎን ይፈትሹ - አንዳንድ መልሶች አሳሳች ሊሆኑ ይችላሉ

ለ x ሊሆኑ የሚችሉ መልሶችን ሲያገኙ መልሱ ትክክል መሆኑን ለማየት ወደ መጀመሪያው ቀመርዎ ያስገቡ። አንዳንድ ጊዜ ፣ ያገ theቸው መልሶች እንደገና ሲገቡ የመጀመሪያውን ስሌት ከዜሮ ጋር እኩል አያደርጉትም። ይህንን መልስ ጠማማ ብለን እንጠራዋለን እና ችላ እንላለን።

• -2 እና -3 ን ወደ x እናስገባ² + 5x + 6 = 0. መጀመሪያ ፣ -2 ፦

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. ይህ መልስ ትክክል ነው ፣ ስለዚህ -2 ትክክለኛ መልስ ነው።

• አሁን ፣ እንሞክር -3

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. ይህ መልስም ትክክል ነው ፣ ስለዚህ -3 ትክክለኛው መልስ ነው።

ዘዴ 3 ከ 3 - ሌሎች እኩልዮሾችን ማቃለል

ደረጃ 1. ስሌቱ በቅጹ ከተገለጸ ሀ²-ለ²፣ ወደ (ሀ+ለ) (ሀ-ለ) ያስገቡ።

ሁለት ተለዋዋጮች ያላቸው ቀመሮች ከመሠረታዊ አራት ማዕዘን እኩልታዎች የተለያዩ ምክንያቶች አሏቸው። ለ እኩልታ ሀ²-ለ² ሀ እና ለ 0 እኩል የማይሆኑበት ማንኛውም ነገር ፣ የቀመር ምክንያቶች (ሀ+ለ) (ሀ-ለ) ናቸው።

ለምሳሌ ፣ ቀመር 9x² - 4 ኛ² = (3x + 2y) (3x - 2y)።

ደረጃ 2. ስሌቱ በቅጹ ከተገለጸ ሀ²+2 ab+ለ²፣ ወደ (ሀ+ለ)².

ልብ ይበሉ ፣ ሥላሴው ከቅጹ ሀ ከሆነ²-2 ab+ለ²፣ የቅጹ ምክንያቶች ትንሽ የተለያዩ ናቸው (ሀ-ለ)².

4x እኩልታ² + 8xy + 4y² እንደ 4x እንደገና ሊፃፍ ይችላል² + (2 × 2 × 2) xy + 4y². አሁን ፣ ቅጹ ትክክል መሆኑን ማየት እንችላለን ፣ ስለዚህ የእኛ ቀመር ምክንያቶች (2x + 2y) መሆናቸውን እርግጠኞች መሆን እንችላለን²

ደረጃ 3. ስሌቱ በቅጹ ከተገለጸ ሀ³-ለ³፣ ወደ (ሀ-ለ) (ሀ²+ab+b²).

በመጨረሻም ፣ የኪዩቢክ እኩልታዎች እና እንዲያውም ከፍ ያሉ ኃይሎች እንኳን ሊጣመሩ እንደሚችሉ ቀደም ሲል ተጠቅሷል ፣ ምንም እንኳን የፋብሪካው ሂደት በፍጥነት በጣም የተወሳሰበ ቢሆንም።

ለምሳሌ ፣ 8x³ - 27 ኛ³ ወደ (2x - 3y) (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

ጠቃሚ ምክሮች

• ሀ²-ለ² ሊገለጽ ይችላል ፣ ሀ²+ለ² ሊገለጽ አይችልም።
• በቋሚነት እንዴት እንደሚለካ ያስታውሱ። ይህ ሊረዳ ይችላል።
• በፋብሪካው ሂደት ውስጥ ክፍልፋዮችን ይጠንቀቁ እና ከፋፍሎች ጋር በትክክል እና በጥንቃቄ ይስሩ።
• የቅጹ ሥላሴ ካለዎት x²+ bx+ (b/2)²፣ የቅጹ ሁኔታ (x+(b/2))². (ካሬውን ሲያጠናቅቁ ይህንን ሁኔታ ሊያጋጥሙዎት ይችላሉ።)
• ያስታውሱ a0 = 0 (የዜሮ ምርት ንብረት)።