የሁለተኛ ዲግሪ ፖላኖሚሊያሎችን (ካሬ እኩልታዎች) ለማምጣት 6 መንገዶች

2024 ደራሲ ደራሲ: Jason Gerald | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2023-12-16 10:52

ፖሊኖሚያል እንደ ዲግሪ የሚታወቅ ኃይል ፣ እና በርካታ ውሎች እና/ወይም ቋሚዎች ያለው ተለዋዋጭ (x) ይ containsል። ባለብዙ ቁጥርን ማመዛዘን ማለት ቀመርን ወደ ቀላል ቀመሮች ማባዛት ማለት ነው። ይህ ችሎታ በአልጀብራ 1 እና ከዚያ በላይ ነው ፣ እና የሂሳብ ችሎታዎችዎ በዚህ ደረጃ ላይ ካልሆኑ ለመረዳት አስቸጋሪ ሊሆን ይችላል።

ደረጃ

ጀምር

ደረጃ 1. ቀመርዎን ያዘጋጁ።

ለአራትዮሽ እኩልታ መደበኛ ቅርጸት

መጥረቢያ² + bx + c = 0

ልክ በዚህ መደበኛ ቅርጸት ልክ በእርስዎ ቀመር ውስጥ ያሉትን ውሎች ከከፍተኛ ወደ ዝቅተኛ ኃይል በማዘዝ ይጀምሩ። ለምሳሌ:

6 + 6x² + 13x = 0

ውሎቹን በቀላሉ በማንቀሳቀስ ከእሱ ጋር አብሮ መስራት ቀላል እንዲሆን ይህን ቀመር እንደገና እናስተካክለዋለን-

6x² + 13x + 6 = 0

ደረጃ 2. ከሚከተሉት ዘዴዎች ውስጥ አንዱን በመጠቀም የቅጹን ምክንያት ይፈልጉ።

የፖሊዮኒየሙን ውጤት ማስቀረት የመጀመሪያውን ባለብዙ ቁጥር ለማምረት ሊባዙ በሚችሉ ሁለት ቀላል ቀመሮች ውስጥ

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

በዚህ ምሳሌ ፣ (2x + 3) እና (3x + 2) የመጀመሪያው ቀመር ምክንያቶች ፣ 6x² +13x+6።

ደረጃ 3. ሥራዎን ይፈትሹ

ያለዎትን ምክንያቶች ያባዙ። ከዚያ እንደ ውሎች ያጣምሩ እና ጨርሰዋል። በ … ጀምር:

(2x + 3) (3x + 2)

እንሞክር ፣ ውሎችን በ PLDT (መጀመሪያ - ውጭ - ውስጥ - የመጨረሻ) በመጠቀም አባዛ ፣ በዚህም ምክንያት

6x² + 4x + 9x + 6

ከዚህ ሆነው 4x እና 9x መደመር እንችላለን ምክንያቱም እነሱ እንደ ውሎች ናቸው። የመጀመሪያውን ቀመር ስለምናገኝ የእኛ ምክንያቶች ትክክል መሆናቸውን እናውቃለን-

6x² + 13x + 6

ዘዴ 1 ከ 6 - ሙከራ እና ስህተት

ቀላል ቀላል ባለ ብዙ ቁጥር ካለዎት እነሱን በመመልከት ብቻ ምክንያቶቹን እራስዎ ማግኘት ይችሉ ይሆናል። ለምሳሌ ፣ ከልምምድ በኋላ ፣ ብዙ የሒሳብ ሊቃውንት ቀመር 4x መሆኑን ማወቅ ይችላሉ² + 4x + 1 ብዙ ጊዜ በማየት ብቻ (2x + 1) እና (2x + 1) አንድ አለው። (ይህ ለተወሳሰቡ ፖሊኖሚሎች በእርግጥ ይህ ቀላል አይሆንም)። ለዚህ ምሳሌ ፣ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ያልዋለውን እኩልታ እንጠቀም -

3x² + 2x - 8

ደረጃ 1. የቃሉ እና የቃላት ምክንያቶች ዝርዝር ይፃፉ ሐ

የመጥረቢያ እኩልታ ቅርጸት በመጠቀም² + bx + c = 0 ፣ ሀ እና ሐ ውሎቹን ይለዩ እና ሁለቱም ውሎች ያላቸውን ምክንያቶች ይፃፉ። ለ 3x² + 2x - 8 ፣ ትርጉሙ

a = 3 እና የተወሰኑ ምክንያቶች አሉት 1 * 3

c = -8 እና አራት ምክንያቶች አሉት -2 * 4 ፣ -4 * 2 ፣ -8 * 1 እና -1 * 8።

ደረጃ 2. ከባዶ ቦታዎች ጋር ሁለት ቅንፍ ቅንፎችን ይፃፉ።

ለእያንዳንዱ ቀመር በቋሚነት የፈጠሯቸውን ባዶ ቦታዎች ይሞላሉ ፦

(x) (x)

ደረጃ 3. ለ x እሴት ሊሆኑ ከሚችሉት ጥንድ ምክንያቶች ጋር በ x ፊት ያለውን ባዶ ቦታ ይሙሉ።

በምሳሌአችን ውስጥ ሀ የሚለው ቃል ፣ 3x²፣ ለእኛ ምሳሌ አንድ ዕድል ብቻ አለ-

(3x) (1x)

ደረጃ 4. ከ x በኋላ ሁለቱን ባዶዎች ለቋሚዎቹ ጥንድ ምክንያቶች ይሙሉ።

8 እና 1 ን እንመርጣለን እንበል።

(3x

ደረጃ 8።)(

ደረጃ 1

ደረጃ 5. በተለዋዋጭ x እና በቁጥር መካከል ያለውን ምልክት (መደመር ወይም መቀነስ) ይወስኑ።

በመጀመሪያው ቀመር ውስጥ ባሉት ምልክቶች ላይ በመመስረት ፣ ለቋሚ ምልክቶች ምልክቶችን መፈለግ ይቻል ይሆናል። ለሁለቱ ምክንያቶች ሁለቱን ቋሚዎች h እና k ብለን እንጠራዋለን -

መጥረቢያ ከሆነ² + bx + c ከዚያ (x + h) (x + k)

መጥረቢያ ከሆነ² - bx - c ወይም መጥረቢያ² + bx - c ከዚያ (x - h) (x + k)

መጥረቢያ ከሆነ² - bx + c ከዚያ (x - h) (x - k)

ለኛ ምሳሌ ፣ 3x² + 2x - 8 ፣ ምልክቶቹ - (x - h) (x + k) ፣ ሁለት ነገሮችን ይሰጡናል -

(3x + 8) እና (x - 1)

ደረጃ 6. የመጀመሪያ-ውጭ-በመጨረሻ ማባዛት (PLDT) በመጠቀም ምርጫዎችዎን ይፈትሹ።

የመጀመሪያው ፈጣን ሙከራ መካከለኛው ቃል ቢያንስ ትክክለኛው ዋጋ እንዳለው ለማየት ነው። ካልሆነ ፣ የተሳሳቱ ሐ ምክንያቶችን መርጠዋል ይሆናል። መልሳችንን እንፈትሽ -

(3x + 8) (x - 1)

በማባዛት ፣ እናገኛለን -

3x² - 3x + 8x - 8

ተመሳሳይ ቃላትን (-3x) እና (8x) በማከል ይህንን ቀመር ማቃለል ፣ እናገኛለን-

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

አሁን እኛ የተሳሳቱ ምክንያቶችን መጠቀማችንን እናውቃለን-

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

ደረጃ 7. አስፈላጊ ከሆነ ምርጫዎን ይለውጡ።

በእኛ ምሳሌ ፣ ከ 1 እና 8 ይልቅ 2 እና 4 ን እንሞክር -

(3x + 2) (x - 4)

አሁን የእኛ ሐ -8 ነው ፣ ግን የእኛ/የውጪ/የውስጣችን ምርት (3x * -4) እና (2 * x) -12x እና 2x ነው ፣ ይህ ተጣምሮ ትክክለኛውን ለ +2x ቃል አያመጣም።

-12x + 2x = 10x

10x 2x

ደረጃ 8. አስፈላጊ ከሆነ ትዕዛዙን ይቀለብሱ።

2 እና 4 ን ለመለዋወጥ እንሞክር-

(3x + 4) (x - 2)

አሁን ፣ የእኛ ሐ ቃል (4 * 2 = 8) ትክክል ነው ፣ ግን የውጪ/ውስጣዊ ምርቱ -6x እና 4x ነው። ብናዋህዳቸው -

-6x + 4x = 2x

2x -2x እኛ ወደምንፈልገው 2x በጣም ቅርብ ነን ፣ ግን ምልክቱ የተሳሳተ ነው።

ደረጃ 9. አስፈላጊ ከሆነ መለያዎችዎን ሁለቴ ይፈትሹ።

እኛ ተመሳሳይ ቅደም ተከተል እንጠቀማለን ፣ ግን የመቀነስ ምልክት ያላቸውን እኩልታዎች እንለውጣለን -

(3x - 4) (x + 2)

አሁን ሐ የሚለው ቃል ምንም ችግር የለውም ፣ እና የአሁኑ ውጫዊ/ውስጣዊ ምርት (6x) እና (-4x) ነው። ምክንያቱም ፦

6x - 4x = 2x

2x = 2x አሁን ከመጀመሪያው ችግር አዎንታዊ 2x ን መጠቀም እንችላለን። እነዚህ ትክክለኛ ምክንያቶች መሆን አለባቸው።

ዘዴ 2 ከ 6: መበስበስ

ይህ ዘዴ የ ሀ እና ሐ ውሎች ሊሆኑ የሚችሉ ሁኔታዎችን ሁሉ ይለያል እና ትክክለኛዎቹን ነገሮች ለማግኘት ይጠቀምባቸዋል። ቁጥሮቹ በጣም ትልቅ ከሆኑ ወይም መገመት ጊዜ የሚወስድ መስሎ ከታየ ይህንን ዘዴ ይጠቀሙ። አንድ ምሳሌ እንጠቀም -

6x² + 13x + 6

ደረጃ 1. ቃልን በአንድ ቃል ማባዛት ሐ

በዚህ ምሳሌ ፣ ሀ 6 እና ሐ ደግሞ 6 ነው።

6 * 6 = 36

ደረጃ 2. ቃሉን በፋብሪካ በማምረት እና በመሞከር ያግኙ።

እኛ ለይተን የምናውቀውን እና * ለ (13) የሚለውን ቃል የሚጨምሩትን የምርቱ ምክንያቶች * ቁጥሮችን ሁለት ቁጥሮችን እንፈልጋለን።

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

ደረጃ 3. ቃልን በማከል ውጤት ወደ ቀመርዎ ውስጥ የሚገቡትን ሁለት ቁጥሮች ይተኩ ለ

4 እና 9 ያሉትን ሁለት ቁጥሮች ለመወከል k እና h ን እንጠቀም።

መጥረቢያ² + kx + hx + ሐ

6x² + 4x + 9x + 6

ደረጃ 4. ፖሊኖማዊውን በቡድን በመቁጠር።

የሁለቱም የመጀመሪያ እና የሁለተኛ ውሎች ትልቁን የጋራ ነጥብ መውሰድ እንዲችሉ እኩልዮቹን ያዘጋጁ። የነገሮች ቡድን ተመሳሳይ መሆን አለበት። ታላቁን የጋራ ምክንያት ያክሉ እና ከምክንያት ቡድኑ ቀጥሎ በቅንፍ ውስጥ ያስቀምጡት ፤ ውጤቱ የእርስዎ ሁለት ምክንያቶች ናቸው

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

ዘዴ 3 ከ 6 - ሶስቴ ጨዋታ

ከመበስበስ ዘዴው ጋር በሚመሳሰል መልኩ ፣ የሶስትዮሽ ጨዋታ ዘዴው ሀ እና ሐን በማባዛት እና ለ እሴትን በመጠቀም ሊሆኑ የሚችሉ ምክንያቶችን ይመረምራል። ይህንን ምሳሌ ቀመር ለመጠቀም ይሞክሩ

8x² + 10x + 2

ደረጃ 1. ቃልን በአንድ ቃል ማባዛት ሐ

ልክ እንደ መተንተን ዘዴ ፣ ይህ ለጊዜ ቃል እጩዎችን ለመለየት ይረዳናል። በዚህ ምሳሌ ውስጥ ሀ 8 እና ሐ 2 ነው።

8 * 2 = 16

ደረጃ 2. በቁጥሮች ሲባዙ ይህንን ቁጥር በድምሩ ከቃሉ ጋር እኩል በሆነ ድምር የሚያመርቱ ሁለት ቁጥሮችን ያግኙ።

ይህ እርምጃ ከመተንተን ጋር ተመሳሳይ ነው - ለቋሚዎቹ እጩዎችን እንፈትሻለን እና እንጥላለን። የ ሀ እና ሐ ውሎች ውጤት 16 ነው ፣ እና ሐ የሚለው ቃል 10 ነው

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

ደረጃ 3. እነዚህን ሁለት ቁጥሮች ውሰዱ እና በሶስት የጨዋታ ቀመር ውስጥ በመሰካት ሞክሯቸው።

ሁለቱን ቁጥሮቻችንን ከቀዳሚው ደረጃ ውሰዱ - እንጠራቸው h እና k - እና ወደ ቀመር ውስጥ እንሰካቸው

((መጥረቢያ + ሸ) (መጥረቢያ + k))/ ሀ

እናገኛለን -

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

ደረጃ 4. በቁጥር ውስጥ ካሉት ሁለቱ ውሎች ውስጥ ማናቸውም በ ሀ

በዚህ ምሳሌ ፣ (8x + 8) ወይም (8x + 2) በ 8 (8x + 8) ሲከፋፈል (8x + 8) በ 8 የሚከፈል ከሆነ አይተናል ፣ ስለዚህ ይህንን ቃል በ ሀ ተከፋፍለን ሌሎቹን ምክንያቶች ብቻውን እንተዋቸው።

(8x + 8) = 8 (x + 1)

በቅንፍ ውስጥ ያለው ቃል ሀ የሚለውን ቃል ከከፈልን በኋላ የሚቀረው ነው።

ደረጃ 5. የአንድ ወይም የሁለቱም ውሎች ትልቁን የጋራ (GCF) ይውሰዱ ፣ ካለ።

በዚህ ምሳሌ ፣ ሁለተኛው ቃል ፣ 2 GCF አለው ፣ ምክንያቱም 8x + 2 = 2 (4x + 1)። ይህንን ውጤት ከቀዳሚው ደረጃ ካገኙት ቃል ጋር ያዋህዱት። በእርስዎ ቀመር ውስጥ እነዚህ ምክንያቶች ናቸው።

2 (x + 1) (4x + 1)

ዘዴ 4 ከ 6: የካሬ ሥሮች ልዩነት

በ polynomials ውስጥ ያሉ አንዳንድ ተባባሪዎች “አደባባዮች” ወይም የሁለት ቁጥሮች ውጤት ሊሆኑ ይችላሉ። እነዚህን አደባባዮች ለይቶ ማወቅ ብዙ ፖሊኖሚሎችን በፍጥነት እንዲለኩ ያስችልዎታል። ይህን እኩልታ ይሞክሩ ፦

27x² - 12 = 0

ደረጃ 1. ከተቻለ ትልቁን የጋራ ምክንያት ይውሰዱ።

በዚህ ሁኔታ 27 እና 12 በ 3 ተከፋፍለው ማየት እንችላለን ፣ ስለዚህ እኛ እናገኛለን

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

ደረጃ 2. የእርስዎ ቀመር ተባባሪዎች ካሬ ቁጥሮች መሆናቸውን ይለዩ።

ይህንን ዘዴ ለመጠቀም የሁለቱም ውሎች ካሬ ሥር መውሰድ መቻል አለብዎት። (ልብ ይበሉ አሉታዊውን ምልክት ችላ እንላለን - ምክንያቱም እነዚህ ቁጥሮች ካሬዎች ስለሆኑ የሁለት አዎንታዊ ወይም አሉታዊ ቁጥሮች ውጤት ሊሆኑ ይችላሉ)

9x² = 3x * 3x እና 4 = 2 * 2

ደረጃ 3. ያገኙትን ካሬ ሥር በመጠቀም ፣ ምክንያቶቹን ይፃፉ።

ከላይ ካለው ደረጃችን ሀ እና ሐ እሴቶችን እንወስዳለን - a = 9 እና c = 4 ፣ ከዚያ የካሬውን ሥር - a = 3 እና c = 2. ውጤቱን የምድር ቀመር እኩልነት ነው።

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

ዘዴ 5 ከ 6: ኳድራክቲካል ቀመር

ሁሉም ነገር ካልተሳካ እና ስሌቱ ሙሉ በሙሉ ሊተመን የማይችል ከሆነ ፣ ባለአራትዮሽ ቀመርን ይጠቀሙ። ይህንን ምሳሌ ይሞክሩ

x² + 4x + 1 = 0

ደረጃ 1. አስፈላጊዎቹን እሴቶች በአራትዮሽ ቀመር ያስገቡ

x = -b ± (ለ² - 4 ሐ)

2 ሀ

ቀመር እናገኛለን -

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

ደረጃ 2. የ x ዋጋን ያግኙ።

ሁለት እሴቶችን ያገኛሉ። ከላይ እንደታየው ሁለት መልሶችን እናገኛለን -

x = -2 + (3) ወይም x = -2 -(3)

ደረጃ 3. ምክንያቶቹን ለማግኘት የእርስዎን x- እሴት ይጠቀሙ።

ወደ ሁለት ፖሊኖማዊ እኩልታዎች ውስጥ እንደ ቋሚነት ያገኙዋቸውን የ x እሴቶችን ይሰኩ። ውጤቱ የእርስዎ ምክንያቶች ናቸው። መልሳችንን h እና k ብለን ከጠራን ፣ ሁለቱን ምክንያቶች እንደሚከተለው እንጽፋለን -

(x - h) (x - k)

በዚህ ምሳሌ ውስጥ የመጨረሻው መልሳችን -

(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))

ዘዴ 6 ከ 6: ካልኩሌተርን መጠቀም

ካልኩሌተር እንዲጠቀሙ ከተፈቀደልዎ ፣ ግራፊክ ካልኩሌተር በተለይ ደረጃውን የጠበቀ ፈተናዎች የማምረት ሂደቱን በጣም ቀላል ያደርገዋል። እነዚህ መመሪያዎች ለ TI ግራፊክ ካልኩሌተር ናቸው። የምሳሌ ቀመር እንጠቀማለን-

y = x² x 2

ደረጃ 1. ቀመርዎን ወደ ካልኩሌተር ያስገቡ።

በማያ ገጹ ላይ የተጻፈውን [Y =] የተጻፈውን የሂሳብ ቀመር (factoring) ይጠቀማሉ።

ደረጃ 2. ካልኩሌተርዎን በመጠቀም ቀመርዎን ይሳሉ።

ወደ ቀመርዎ ሲገቡ [GRAPH] ን ይጫኑ - የእርስዎን ቀመር የሚወክል ለስላሳ ኩርባ ያያሉ (እና እኛ ባለ ብዙ መቶኛ ስለምንጠቀም ቅርጹ ኩርባ ነው)።

ደረጃ 3. ኩርባው ከ x ዘንግ ጋር የሚያገናኝበትን ቦታ ይፈልጉ።

ፖሊኖማዊ እኩልታዎች ብዙውን ጊዜ እንደ መጥረቢያ ስለሚጻፉ² + bx + c = 0 ፣ ይህ መገናኛው እኩልታው ዜሮ እንዲሆን የሚያደርገው የ x ሁለተኛ እሴት ነው

(-1, 0), (2, 0)

x = -1 ፣ x = 2

እሱን በመመልከት ግራፉ ከ x ዘንግ ጋር የሚገናኝበትን መለየት ካልቻሉ [2 ኛ] ን እና ከዚያ [TRACE] ን ይጫኑ። [2] ን ይጫኑ ወይም ዜሮ ይምረጡ። ጠቋሚውን ከመገናኛው በግራ በኩል ያንቀሳቅሱት እና [ENTER] ን ይጫኑ። ጠቋሚውን ወደ መገናኛው ወደ ቀኝ ያንቀሳቅሱ እና [ENTER] ን ይጫኑ። ጠቋሚውን በተቻለ መጠን ወደ መገናኛው ቅርብ አድርገው ያንቀሳቅሱት እና [ENTER] ን ይጫኑ። ካልኩሌተር የ x ዋጋን ያገኛል። ለሌሎች መስቀለኛ መንገዶችም እንዲሁ ያድርጉ።

ደረጃ 4. ከቀዳሚው ደረጃ የተገኘውን የ x እሴት ወደ ሁለቱ ተጨባጭ ሀሳቦች ይሰኩ።

ሁለቱንም የእኛን x እሴቶች ሸ እና ኬ ብለን ብንጠራቸው ፣ የምንጠቀምባቸው እኩልታዎች -

(x - h) (x - k) = 0

ስለዚህ የእኛ ሁለት ምክንያቶች -

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

ጠቃሚ ምክሮች

• የ TI-84 ካልኩሌተር (ግራፍ) ካለዎት የአራትዮሽ እኩልታዎችዎን የሚፈታ SOLVER የሚባል ፕሮግራም አለ። ይህ ፕሮግራም የየትኛውም ዲግሪ ፖሊኖሚዎችን ይፈታል።
• አንድ ቃል ካልተፃፈ ፣ የቁጥሩ ቀመር 0. ይህ ከሆነ ፣ ቀመርን እንደገና መጻፍ ጠቃሚ ነው ፣ ለምሳሌ ፦ x² + 6 = x² +0x+6።
• ባለአራት ቀመር በመጠቀም የእርስዎን ፖሊኖሚሪያል ከፈጠሩ እና መልሱን ከሥሮች አንፃር ካገኙ ፣ ለመፈተሽ የ x ን እሴት ወደ ክፍልፋይ መለወጥ ይፈልጉ ይሆናል።
• አንድ ቃል የጽሑፍ Coefficient ከሌለው ፣ አሃዛዊው 1 ነው ፣ ለምሳሌ ፦ x² = 1x².
• ከበቂ ልምምድ በኋላ ፣ በመጨረሻ በራስዎ ውስጥ ብዙ ቁጥር ያላቸውን መለኪያዎች ማመጣጠን ይችላሉ። እስኪያደርጉት ድረስ ፣ ሁል ጊዜ እንዴት እንደሚደረግ መፃፍዎን ያረጋግጡ።