ባለአራትዮሽ እኩልታዎችን ለመፍታት 3 መንገዶች

2024 ደራሲ ደራሲ: Jason Gerald | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2023-12-16 10:52

ባለአራትዮሽ እኩልታ ከፍተኛው ደረጃው 2 (ስኩዌር) የሆነ ቀመር ነው። አራት ማዕዘን ቀመርን ለመፍታት ሦስት ዋና ዋና መንገዶች አሉ - ከቻሉ የአራት ማዕዘን ቀመርን ፣ አራት ማዕዘን ቀመርን በመጠቀም ወይም ካሬውን ማጠናቀቅ። እነዚህን ሶስት ዘዴዎች ጠንቅቀው ማወቅ ከፈለጉ እነዚህን ደረጃዎች ይከተሉ።

ደረጃ

ዘዴ 1 ከ 3 - የፋክተሮች እኩልታዎች

ደረጃ 1. ሁሉንም እኩል ተለዋዋጮች ያጣምሩ እና ወደ ቀመር አንድ ጎን ያንቀሳቅሷቸው።

ቀመርን ወደ እውነታው ለማምጣት የመጀመሪያው እርምጃ ሁሉንም እኩል ተለዋዋጮች ወደ ቀመር አንድ ጎን ፣ ከ x ጋር ማንቀሳቀስ ነው²አዎንታዊ ነው። ተለዋዋጮችን ለማጣመር ሁሉንም ተለዋዋጮች x ያክሉ ወይም ይቀንሱ² ፣ x ፣ እና ቋሚዎች (ኢንቲጀሮች) ፣ ምንም ነገር በሌላው ወገን ላይ እንዳይቀር ወደ ቀመር ሌላኛው ክፍል ያንቀሳቅሷቸው። ሌላኛው ወገን ቀሪ ተለዋዋጮች ከሌለው ፣ ከእኩል ምልክቶች ቀጥሎ 0 ይፃፉ። እንዴት ማድረግ እንደሚቻል እነሆ-

• 2x² - 8x - 4 = 3x - x²
• 2x² +x² - 8x -3x - 4 = 0
• 3x² - 11x - 4 = 0

ደረጃ 2. ይህንን ቀመር ያመልክቱ።

ይህንን ቀመር ለማመዛዘን ፣ ምክንያቱን x መጠቀም አለብዎት² (3) እና የማያቋርጥ ሁኔታ (-4) ፣ እነሱን በማባዛት እና በመሃል ላይ ካለው ተለዋዋጭ ጋር እንዲገጣጠሙ በመጨመር ፣ (-11)። እንዴት ማድረግ እንደሚቻል እነሆ-

• 3x² 3x እና x ብቻ ሊሆን የሚችል ምክንያት አለው ፣ በቅንፍ ውስጥ ሊጽ canቸው ይችላሉ (3x +/-?) (x +/-?) = 0።
• ከዚያ ፣ -11x የሚያፈራውን ምርት ለማግኘት በ 4 ውስጥ ለማስቀረት የማስወገድ ሂደቱን ይጠቀሙ። የ 4 እና 1 ፣ ወይም 2 እና 2 ምርትን መጠቀም ይችላሉ ፣ ምክንያቱም ሁለቱንም ሲያባዙ ያገኛሉ 4. ግን ከቁጥሮቹ አንዱ አሉታዊ መሆን እንዳለበት ያስታውሱ ውጤቱ -4 ስለሆነ።
• ይሞክሩ (3x + 1) (x - 4)። ሲያባዙ ውጤቱ - 3x ነው² -12x +x -4. ተለዋዋጮችን -12 x እና x ካዋሃዱ ውጤቱ -11x ነው ፣ ይህም የእርስዎ መካከለኛ እሴት ነው። እርስዎ ልክ ባለአራትዮሽ እኩልታ ፈጥረዋል።
• ለምሳሌ ፣ ሌላውን ምርት (Factor Factory) እንሞክር ((3x -2) (x +2) = 3x)² +6x -2x -4. ተለዋዋጭዎቹን ካዋሃዱ ውጤቱ 3x ነው² -4x -4. ምንም እንኳን የ -2 እና 2 ምክንያቶች ምርት -4 ሲባዙ ፣ ከ -4x ይልቅ የ -11x እሴት ማግኘት ስለሚፈልጉ አማካዩ ተመሳሳይ አይደለም።

ደረጃ 3. እያንዳንዱ ቅንፍ በተለየ ቀመር ዜሮ ነው ብለው ያስቡ።

ይህ የእርስዎን ቀመር ዜሮ የሚያደርጋቸውን 2 x እሴቶችን እንዲያገኙ ያስችልዎታል። እርስዎ እኩልታዎን አስፍረዋል ፣ ስለዚህ ማድረግ ያለብዎት በእያንዳንዱ ቅንፍ ውስጥ ያለውን ስሌት ዜሮ ነው ማለት ነው። ስለዚህ 3x + 1 = 0 እና x - 4 = 0 መጻፍ ይችላሉ።

ደረጃ 4. እያንዳንዱን እኩልታ ለየብቻ ይፍቱ።

በአራትዮሽ ቀመር ለ x 2 እሴቶች አሉ። ተለዋዋጮችን በማንቀሳቀስ እና ለ x 2 መልሶችን በመጻፍ እያንዳንዱን እኩልታ ለየብቻ ይፍቱ -

• 3x + 1 = 0 ይፍቱ

  • 3x = -1….. በመቀነስ
  • 3x/3 = -1/3….. በመከፋፈል
  • x = -1/3….. በማቅለል

• X - 4 = 0 ይፍቱ

  x = 4….. በመቀነስ

• x = (-1/3, 4)….. በርካታ ሊሆኑ የሚችሉ መልሶችን ለየብቻ በማድረግ ፣ x = -1/3 ወይም x = 4 ሁለቱም ትክክል ሊሆኑ ይችላሉ።

ደረጃ 5. በ x = -1/3 ውስጥ (3x + 1) (x -4) = 0 ይፈትሹ

ስለዚህ (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. በመተካት (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. በማቅለል (0) (-4 1/3) = 0….. በማባዛት So ፣ 0 = 0….. አዎ ፣ x = -1/3 እውነት ነው።

ደረጃ 6. በ x = 4 በ (3x + 1) (x - 4) = 0 ላይ ምልክት ያድርጉ

ስለዚህ (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. በመተካት (13) (4 - 4)? =? 0….. በማቅለል (13) (0) = 0….. በማባዛት So ፣ 0 = 0….. አዎ ፣ x = 4 እንዲሁ እውነት ነው።

ስለዚህ ፣ በተናጠል ከተመረመሩ በኋላ ሁለቱም መልሶች ትክክል ናቸው እና በእኩልነት ውስጥ ሊያገለግሉ ይችላሉ።

ዘዴ 2 ከ 3 - ኳድራክቲክ ቀመር በመጠቀም

ደረጃ 1. ሁሉንም እኩል ተለዋዋጮች ያጣምሩ እና ወደ ቀመር አንድ ጎን ያንቀሳቅሷቸው።

ከተለዋዋጭ x እሴት ጋር ሁሉንም ተለዋዋጮች ወደ ቀመር አንድ ጎን ያንቀሳቅሱ² አዎንታዊ። ተለዋዋጮችን በቅደም ተከተል አብነቶች ይፃፉ ፣ ስለዚህ x² በመጀመሪያ የተፃፈው ፣ በመቀጠልም ተለዋዋጮች ፣ እና ቋሚዎች። እንዴት ማድረግ እንደሚቻል እነሆ-

• 4x² - 5x - 13 = x² -5
• 4x² - x² - 5x - 13 +5 = 0
• 3x² - 5x - 8 = 0

ደረጃ 2. አራት ማዕዘን ቀመር ይጻፉ።

ባለአራትዮሽ ቀመር ፦ b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}

ደረጃ 3. የ a, b እና c እሴቶችን ከ quadratic equation ይወስኑ።

ተለዋጭ ሀ የቁጥር ቀመር x ነው², ለ ተለዋዋጭ x እኩልነት ነው ፣ እና ሐ ቋሚ ነው። ለ 3x እኩልታ² -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 እና c = -8. ሦስቱን ጻፉ።

ደረጃ 4. በቀመር ውስጥ ሀ ፣ ለ እና ሐ እሴቶችን ይተኩ።

ሶስቱን ተለዋዋጭ እሴቶችን አንዴ ካወቁ በኋላ ወደ እንደዚህ ቀመር ይሰኩዋቸው

• {-b +/- √ (ለ² - 4ac)}/2
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)

ደረጃ 5. ስሌቶችን ያካሂዱ

አንዴ ቁጥሮቹን ከገቡ በኋላ ቀሪዎቹን ተለዋዋጮች አወንታዊ ወይም አሉታዊ ምልክትን ለማቅለል ፣ ለማባዛት ወይም ካሬ ለማድረግ አንዳንድ ሂሳብ ያድርጉ። እንዴት ማድረግ እንደሚቻል እነሆ-

• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
• {5 +/-√(25 + 96)}/6
• {5 +/-√(121)}/6

ደረጃ 6. የካሬ ሥሩን ቀለል ያድርጉት።

ከካሬው ሥር ስር ያለው ቁጥር ፍጹም ካሬ ከሆነ ፣ ሙሉ ቁጥር ያገኛሉ። ቁጥሩ ፍጹም ካሬ ካልሆነ ወደ ቀላሉ ሥሩ ቅርጹ ቀለል ያድርጉት። ቁጥሩ አሉታዊ ከሆነ እና አሉታዊ መሆን አለበት ብለው ካመኑ ፣ ዋናው እሴት የተወሳሰበ ይሆናል። በዚህ ምሳሌ ፣ (121) = 11. x = (5 +/- 11)/6 ን መጻፍ ይችላሉ።

ደረጃ 7. አወንታዊ እና አሉታዊ መልሶችን ይፈልጉ።

አንዴ የካሬው ሥር ምልክቱን ካስወገዱ በኋላ ፣ ለ x አዎንታዊ እና አሉታዊ ውጤት ለማግኘት መንገድዎን መስራት ይችላሉ። አሁን (5 +/- 11)/6 አለዎት ፣ 2 መልሶችን መጻፍ ይችላሉ-

• (5 + 11)/6
• (5 - 11)/6

ደረጃ 8. አዎንታዊ እና አሉታዊ መልሶችን ይሙሉ።

የሂሳብ ስሌቶችን ያካሂዱ;

• (5 + 11)/6 = 16/6
• (5-11)/6 = -6/6

ደረጃ 9. ቀለል ያድርጉት።

እያንዳንዱን መልስ ለማቃለል ሁለቱንም ቁጥሮች ሊከፋፍል በሚችል ትልቁ ቁጥር ይከፋፍሉ። የመጀመሪያውን ክፍልፋይ በ 2 ይከፋፍሉ እና ሁለተኛውን በ 6 ይከፋፍሉት ፣ እና የ x ዋጋን አግኝተዋል።

• 16/6 = 8/3
• -6/6 = -1
• x = (-1 ፣ 8/3)

ዘዴ 3 ከ 3 - ካሬውን ይጨርሱ

ደረጃ 1. ሁሉንም ተለዋዋጮች ወደ ቀመር አንድ ጎን ያንቀሳቅሱ።

አንድ ወይም ተለዋዋጭ x መሆኑን ያረጋግጡ² አዎንታዊ። እንዴት ማድረግ እንደሚቻል እነሆ-

• 2x² - 9 = 12x =

• 2x² - 12x - 9 = 0

  በዚህ ቀመር ፣ ተለዋዋጭ ሀ 2 ፣ ተለዋዋጭ ለ -12 ፣ እና ተለዋዋጭ ሐ -9 ነው።

ደረጃ 2. ተለዋዋጭውን ወይም ቋሚውን ሐ ወደ ሌላኛው ጎን ያዙሩት።

ቋሚዎች ያለ ተለዋዋጮች የቁጥር ቃላት ናቸው። ወደ ቀመር በቀኝ በኩል ይሂዱ -

• 2x² - 12x - 9 = 0
• 2x² - 12x = 9

ደረጃ 3. ሁለቱንም ጎኖች በተመጣጣኝ ሀ ወይም በተለዋዋጭ x ይከፋፍሉ².

ከሆነ x² ተለዋዋጭ የለውም እና ተባባሪው 1 ነው ፣ ይህንን ደረጃ መዝለል ይችላሉ። በዚህ ሁኔታ ፣ ሁሉንም ተለዋዋጮች በ 2 መከፋፈል አለብዎት ፣ እንደዚህ

• 2x²/2 - 12x/2 = 9/2 =
• x² - 6x = 9/2

ደረጃ 4. ለ በ 2 ይከፋፍሉት ፣ አራት ማዕዘን ያድርጉት እና ውጤቱን በሁለቱም በኩል ይጨምሩ።

በዚህ ምሳሌ ውስጥ የ b እሴት -6 ነው። እንዴት ማድረግ እንደሚቻል እነሆ-

• -6/2 = -3 =
• (-3)² = 9 =
• x² - 6x + 9 = 9/2 + 9

ደረጃ 5. ሁለቱንም ወገኖች ቀለል ያድርጉት።

(X-3) (x-3) ወይም (x-3) ለማግኘት በግራ በኩል ያለውን ተለዋዋጭ ምክንያታዊ ያድርጉ². 9/2 + 9 ወይም 9/2 + 18/2 ለማግኘት እሴቶቹን በቀኝ በኩል ያክሉ ፣ ይህም 27/2 ነው።

ደረጃ 6. ለሁለቱም ወገኖች የካሬውን ሥር ይፈልጉ።

የካሬ ሥር (x-3)² (x-3) ነው። የ 27/2 ካሬ ሥሩን እንደ ± √ (27/2) መጻፍ ይችላሉ። ስለዚህ ፣ x - 3 = ± √ (27/2)።

ደረጃ 7. ሥሮቹን ቀለል ያድርጉ እና የ x ዋጋን ያግኙ።

± √ (27/2) ን ለማቃለል ፣ በቁጥር 27 እና 2 መካከል ያለውን ፍጹም ካሬ ወይም ያንን ቁጥር በመቁጠር። የ 9 ፍጹም ካሬ በ 27 ውስጥ ሊገኝ ይችላል ምክንያቱም 9 x 3 = 27. 9 ን ከካሬው ሥር ለመውሰድ 9 ን ከሥሩ ያውጡ እና 3 ፣ ካሬውን ሥፍራ ፣ ከካሬው ሥር ውጭ ይጻፉ። 27 ሁሉንም ምክንያቶች ስለማይሠራ ቀሪውን 3 በክፋዩ ቁጥሩ ውስጥ ይተውት ፣ 27 ሁሉንም ምክንያቶች ስለማይሠራ ፣ እና ከዚህ በታች 2 ይፃፉ። ከዚያ ፣ በእኩልታው በግራ በኩል ያለውን ቋሚ 3 ን ወደ ቀኝ ያንቀሳቅሱ እና ሁለቱን መፍትሄዎችዎን ለ x ይፃፉ

• x = 3 +(√6)/2
• x = 3 - (√6)/2)

ጠቃሚ ምክሮች

• እንደሚመለከቱት ፣ የስር ምልክቶቹ ሙሉ በሙሉ አይጠፉም። ስለዚህ የቁጥሩ ተለዋዋጮች ሊጣመሩ አይችሉም (ምክንያቱም እነሱ እኩል ስላልሆኑ)። እሱን ወደ አዎንታዊ ወይም አሉታዊ መለየት ምንም ፋይዳ የለውም። ሆኖም ፣ በተመሳሳይ ሁኔታ ልንከፋፍለው እንችላለን ፣ ግን ብቻ ምክንያቶች ለሁለቱም ቋሚዎች ተመሳሳይ ከሆኑ እና የስር Coefficient.
• ከካሬው ሥር ስር ያለው ቁጥር ፍጹም ካሬ ካልሆነ ፣ የመጨረሻዎቹ ጥቂት ደረጃዎች ትንሽ የተለዩ ናቸው። አንድ ምሳሌ እነሆ -
• ለ እኩል ቁጥር ከሆነ ፣ ቀመሩ የሚከተለው ይሆናል-{-(ለ/2) +/- (ለ/2) -ac}/ሀ።