የኩቤክ እኩልታዎችን ለመፍታት 3 መንገዶች

2024 ደራሲ ደራሲ: Jason Gerald | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-01-16 19:06

መጀመሪያ የኩቢክ እኩልታን ሲያገኙ (እሱም ከቅጽ መጥረቢያ ነው ³ + bx ² + cx + d = 0) ፣ ምናልባት ችግሩ ለመፍታት አስቸጋሪ ይሆናል ብለው ያስቡ ይሆናል። ግን የኩብ እኩልታዎችን መፍታት በእውነቱ ለዘመናት እንደነበረ ይወቁ! በ 1500 ዎቹ በጣሊያን የሒሳብ ሊቅ ኒኮሎ ታርታሊያ እና ጌሮላሞ ካርዳኖ የተገኘው ይህ መፍትሔ በጥንቷ ግሪክ እና ሮም ከሚታወቁት የመጀመሪያዎቹ ቀመሮች አንዱ ነው። ኪዩቢክ ስሌቶችን መፍታት ትንሽ አስቸጋሪ ሊሆን ይችላል ፣ ግን በትክክለኛው አቀራረብ (እና በቂ እውቀት) ፣ በጣም አስቸጋሪው የኩብ እኩልታዎች እንኳን ሊፈቱ ይችላሉ።

ደረጃ

ዘዴ 1 ከ 3 - ባለአራትዮሽ እኩልታዎችን በመጠቀም መፍታት

ደረጃ 1. የእርስዎ ኪዩቢክ ቀመር ቋሚ መሆኑን ያረጋግጡ።

ከላይ እንደተገለፀው ፣ የኩብ እኩልታው ቅርፅ መጥረቢያ ነው ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c ፣ እና የ d እሴት የዚህን ኪዩቢክ እኩልነት ቅርፅ ሳይነካ 0 ሊሆን ይችላል ፤ ይህ ማለት የኩቢክ እኩልታው ሁልጊዜ የ bx ዋጋን ማካተት የለበትም ማለት ነው ²፣ cx ፣ ወይም d የአንድ ኪዩቢክ እኩልነት መሆን። ኪዩቢክ እኩልታዎችን የመፍታት ይህን ቀላል ቀላል መንገድ መጠቀም ለመጀመር ፣ የእርስዎ ኪዩቢክ ቀመር ቋሚ (ወይም የ d እሴት) እንዳለው ያረጋግጡ። የእርስዎ ቀመር ለ d ቋሚ ወይም እሴት ከሌለው ፣ ከዚያ ከጥቂት ደረጃዎች በኋላ ለኩብ እኩልታው መልስ ለማግኘት ባለአራትዮሽ እኩልታ መጠቀም ይችላሉ።

በሌላ በኩል ፣ ቀመርዎ ቋሚ እሴት ካለው ፣ ከዚያ ሌላ መፍትሄ ያስፈልግዎታል። ለሌሎች አቀራረቦች ከዚህ በታች ያሉትን ደረጃዎች ይመልከቱ።

ደረጃ 2. የ x እሴቱን ከኩብ እኩልታው ያርቁ።

የእርስዎ ቀመር ቋሚ እሴት ስለሌለው በውስጡ ያሉት ሁሉም ክፍሎች ተለዋዋጭ x አላቸው። ይህ ማለት ይህ የ x እሴት እሱን ለማቃለል ከሒሳብ ቀመር ሊወጣ ይችላል ማለት ነው። ይህንን ደረጃ ያድርጉ እና የኩብ እኩልታዎን በ x (መጥረቢያ ² + bx + c)።

ለምሳሌ ፣ እዚህ የመጀመሪያው የኩቢክ ስሌት 3 x ነው እንበል ³ + -2 x ² + 14 x = 0. ከዚህ ቀመር አንድ ተለዋዋጭ x በመለኪያ ፣ ቀመር እናገኛለን x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

ደረጃ 3. በቅንፍ ውስጥ ያሉትን እኩልታዎች ለመፍታት አራት ማዕዘን ቀመሮችን ይጠቀሙ።

በቅንፍ ውስጥ የተዘጉ አንዳንድ የእርስዎ አዲስ ቀመሮች በአራትዮሽ እኩልታ (መጥረቢያ) መልክ መሆናቸውን አስተውለው ይሆናል ² + bx + c)። ይህ ማለት ሀ ፣ ለ እና ሐን በአራትዮሽ ቀመር ቀመር ({- b +/- √ (ለ- ²- 4 ac)}/2 ሀ)። ለኩብ ቀመርዎ ሁለት መልሶችን ለማግኘት እነዚህን ስሌቶች ያካሂዱ።

• በእኛ ምሳሌ ፣ የ a ፣ b እና c (3 ፣ -2 እና 14 ፣ በቅደም ተከተል) እሴቶችን በአራትዮሽ ቀመር ውስጥ እንደሚከተለው ይሰኩ

  {- ለ +/- √ (ለ ²- 4 ac)}/2 ሀ

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• መልስ 1

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 i}/6

• መልስ 2

  {2 - 12.8 i}/6

ደረጃ 4. ዜሮዎችን እና መልስዎን ለኳድ እኩልታዎ እንደ መልስዎ ለ quadratic equation ይጠቀሙ።

ባለአራትዮሽ እኩልታዎች ሁለት መልሶች ይኖሯቸዋል ፣ ኩብ እኩልታዎች ግን ሦስት መልሶች አሏቸው። ከሦስቱ ውስጥ ሁለት መልሶችን አስቀድመው ያውቃሉ። በቅንፍ ውስጥ ካለው “ካሬ” ክፍል ክፍል የሚያገኙት። የእርስዎ ኪዩቢክ ቀመር በእንደዚህ ዓይነት “ፋኖራይዜሽን” ሊፈታ የሚችል ከሆነ ፣ ሦስተኛው መልስዎ ሁል ጊዜ ማለት ነው 0. ደህና! እርስዎ አሁን አንድ ኪዩቢክ እኩልታን ፈትተዋል።

ይህ ዘዴ እንዲሠራ ያደረገው ምክንያት “ማንኛውም ቁጥር በዜሮ የሚባዛው ከዜሮ ጋር እኩል ነው” የሚለው መሠረታዊ እውነታ ነው። ቀመርዎን በ x ቅጽ (መጥረቢያ) ላይ ሲያስገቡ ² + bx + c) = 0 ፣ በመሠረቱ እርስዎ ብቻ በሁለት “ክፍሎች” ይከፍሉታል ፣ አንዱ ክፍል በግራ በኩል ያለው የ x ተለዋዋጭ ሲሆን ሌላኛው ክፍል በቅንፍ ውስጥ ባለ አራት ማዕዘን እኩልታ ነው። ከነዚህ ሁለት ክፍሎች አንዱ ዜሮ ከሆነ ፣ ከዚያ አጠቃላይ ስሌቱ እንዲሁ ዜሮ ይሆናል። ስለዚህ ፣ በዜሮ ቅንፎች ውስጥ ለ quadratic equation ሁለቱ መልሶች ዜሮ ያደርጉታል ፣ ለኩብ እኩልታው መልሶች ፣ እንዲሁም 0 ራሱ ነው - ይህም በግራ በኩል ደግሞ ክፍሉን ዜሮ ያደርገዋል።

ዘዴ 2 ከ 3 - የተቋራጭ ዝርዝርን በመጠቀም ኢንቲጀር መልሶችን ማግኘት

ደረጃ 1. የእርስዎ ኪዩቢክ ቀመር ቋሚ እሴት እንዳለው ያረጋግጡ።

ከላይ የተገለጹት ዘዴዎች ለመጠቀም ቀላል ናቸው ፣ ምክንያቱም እነሱን ለመጠቀም አዲስ የሂሳብ ዘዴ መማር አያስፈልግዎትም ፣ እነሱ ሁል ጊዜ የኩቢክ ስሌቶችን ለመፍታት አይረዱዎትም። የእርስዎ ኪዩቢክ ቀመር ከቅጽ መጥረቢያ ከሆነ ³ + bx ² + cx + d = 0 ፣ የ d እሴት ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ ፣ ከላይ ያለው “የፋብሪካነት” ዘዴ አይሰራም ፣ ስለዚህ ይህንን ለመፍታት በዚህ ክፍል ውስጥ ካሉት ዘዴዎች ውስጥ አንዱን መጠቀም ያስፈልግዎታል።

ለምሳሌ ፣ ቀመር 2 x አለን እንበል ³ + 9 x ² + 13 x = -6። በዚህ ሁኔታ ፣ በቀመር በቀኝ በኩል ዜሮ ለማግኘት ፣ በሁለቱም በኩል 6 ማከል አለብን። ከዚያ በኋላ ፣ አዲስ ቀመር 2 x እናገኛለን ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0 ፣ በ d = 6 እሴት ፣ ስለዚህ በቀድሞው ዘዴ እንደነበረው የ “ፋኖራይዜሽን” ዘዴን መጠቀም አንችልም።

ደረጃ 2. የ a እና መ ምክንያቶችን ይፈልጉ።

የእርስዎን ኪዩቢክ ቀመር ለመፍታት ፣ የ (የ x coefficient) ን ምክንያት በማግኘት ይጀምሩ ³) እና መ (በቀመር መጨረሻ ላይ ያለው ቋሚ እሴት)። ያስታውሱ ፣ ምክንያቶች አንድ የተወሰነ ቁጥር ለማምረት እርስ በእርስ ሊባዙ የሚችሉ ቁጥሮች ናቸው። ለምሳሌ ፣ 6 × 1 እና 2 × 3 ፣ 1 ፣ 2 ፣ 3 እና 6 በማባዛት 6 ማግኘት ስለሚችሉ የ 6 ምክንያቶች ናቸው።

• እኛ በምንጠቀምበት የምሳሌ ችግር ውስጥ ፣ a = 2 እና d = 6። የ 2 ምክንያት 1 እና 2. የ 6 ምክንያቱ ሳለ 1 ፣ 2 ፣ 3 እና 6።

  

  ደረጃ 3. ምክንያቱን ሀ በ d

  በመቀጠል ፣ እያንዳንዱን የ A ን እያንዳንዱን በእያንዳንዱ የ d መጠን በመከፋፈል የሚያገ valuesቸውን እሴቶች ይዘርዝሩ። ይህ ስሌት ብዙውን ጊዜ ብዙ የክፍልፋይ እሴቶችን እና በርካታ ሙሉ ቁጥሮችን ያስከትላል። ኪዩቢክ ቀመርዎን ለመፍታት የኢንቲጀር እሴት ከስሌቱ ከተገኙት ኢንቲጀሮች አንዱ ነው።

  በእኛ ቀመር ውስጥ የ (1 ፣ 2) እሴት እሴት በ d (1 ፣ 2 ፣ 3 ፣ 6) ይከፋፍሉ እና የሚከተሉትን ውጤቶች ያግኙ - 1 ፣ 1/2 ፣ 1/3 ፣ 1/6 ፣ 2 ፣ እና 2/3። በመቀጠል በዝርዝሩ ላይ አሉታዊ እሴቶችን ያክሉ እና እኛ እናገኛለን 1 ፣ -1 ፣ 1/2 ፣ -1/2 ፣ 1/3 ፣ -1/3 ፣ 1/6 ፣ -1/6 ፣ 2 ፣ -2 ፣ 2/3 ፣ እና -2/3. ለኩብ እኩልታው መልስ - ኢንቲጀር ነው ፣ በዝርዝሩ ላይ ይገኛል።

  

  ደረጃ 4. መልሶችዎን በእጅ ለመፈተሽ ሰው ሠራሽ ክፍፍልን ይጠቀሙ።

  ከላይ እንደተጠቀሰው የእሴቶች ዝርዝር ካገኙ በኋላ እያንዳንዱን ኢንቲጀር በእጅ በማስገባት ወደ ኪዩቢክ ቀመርዎ መልሶች የሆኑትን የኢንቲጀር እሴቶችን መፈለግ እና የትኛው እሴት ዜሮ እንደሚመለስ ማግኘት ይችላሉ። ሆኖም ፣ ይህንን ለማድረግ ጊዜ ለማሳለፍ የማይፈልጉ ከሆነ ፣ የበለጠ በፍጥነት ለማከናወን የሚያስችል መንገድ አለ ፣ ማለትም ሠራሽ ክፍፍል ተብሎ በሚጠራ ስሌት። በመሠረቱ ፣ የእርስዎን ኢንቲጀር እሴት በ a ፣ b ፣ c ፣ እና d በኩቢ እኩልዎ ውስጥ በመጀመሪያዎቹ ተባባሪዎች ይከፋፈላሉ። ቀሪው ዜሮ ከሆነ ፣ ያ ያ እሴት ለኩብ ቀመርዎ መልሶች አንዱ ነው።

  • ሰው ሠራሽ ክፍፍል ውስብስብ ርዕስ ነው - ለበለጠ መረጃ ከዚህ በታች ያለውን አገናኝ ይመልከቱ። ለኪዩቢክ ቀመርዎ ከተዋሃደ ክፍፍል አንዱን መልሶች እንዴት እንደሚያገኙ የሚያሳይ ምሳሌ እነሆ-

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    እኛ የመጨረሻውን ውጤት ከ 0 ጋር እኩል ስለምናገኝ ፣ እኛ ለቁጥራዊ ስሌታችን አንድ ኢንቲጀር መልስ እንደሆነ እናውቃለን - 1.

  ዘዴ 3 ከ 3 - አድሏዊ አቀራረብን መጠቀም

  

  ደረጃ 1. እኩልዮቹን ሀ ፣ ለ ፣ ሐ እና መ ይፃፉ።

  በዚህ መንገድ ለኩብ ቀመር መልስ ለማግኘት ፣ በእኛ ቀመር ውስጥ ከተባባሪዎቹ ጋር ብዙ ስሌቶችን እናደርጋለን። በዚህ ምክንያት ማንኛውንም እሴቶች ከመዘንጋትዎ በፊት የ a ፣ b ፣ c እና d እሴቶችን ማስታወሱ ጥሩ ሀሳብ ነው።

  ለምሳሌ ፣ ለ ቀመር x ³ - 3 x ² + 3 x -1 ፣ እንደ = 1 ፣ b = -3 ፣ c = 3 እና d = -1 አድርገው ይፃፉት። ተለዋዋጭ x ምንም ወጥነት ከሌለው እሴቱ 1 መሆኑን መርሳት የለብዎትም።

  

  ደረጃ 2. 0 = ለ ² - 3 የአየር ማቀዝቀዣዎች።

  ለኩብ እኩልታዎች መልሶችን ለማግኘት የአድሎአዊ አቀራረብ ውስብስብ ስሌቶችን ይጠይቃል ፣ ነገር ግን ደረጃዎቹን በጥንቃቄ ከተከተሉ በሌሎች መንገዶች ለመፍታት አስቸጋሪ የሆኑትን የኩቢክ ስሌቶችን ለመፍታት በጣም ጠቃሚ ሊሆን ይችላል። ለመጀመር ፣ እኛ የምንፈልገውን የብዙዎች የመጀመሪያ ጉልህ እሴት የሆነውን 0 እሴት ያግኙ ፣ ተገቢውን እሴት ወደ ቀመር ውስጥ ይሰኩ ² - 3 የአየር ማቀዝቀዣዎች።

  • እኛ በምንጠቀምበት ምሳሌ ውስጥ እንደሚከተለው እንፈታዋለን-

    ለ ² - 3 አ

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  ደረጃ 3. ማስላት 1 = 2 ለ ³ - 9 abc + 27 ሀ ² መ.

  የሚያስፈልገን ቀጣዩ ጉልህ እሴት ፣ 1 ፣ ረዘም ያለ ስሌት ይጠይቃል ፣ ግን እንደ 0 በተመሳሳይ መንገድ ሊገኝ ይችላል። ተገቢውን እሴት ወደ ቀመር ይሰኩት 2 ለ ³ - 9 abc + 27 ሀ ² መ 1 እሴት ለማግኘት።

  • በዚህ ምሳሌ ውስጥ እንደሚከተለው እንፈታዋለን-

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  ደረጃ 4. ማስላት = 1² - 4 - 0³) -27 ሀ ².

  በመቀጠልም የ 0 እና 1 እሴቶችን “አድሎአዊ” እሴት እናሰላለን። አድሏዊው ስለ ብዙ ቁጥር ሥር መረጃ የሚሰጥዎ ቁጥር ነው (እርስዎ ሳያውቁት ባለአራትዮሽ የመድል ቀመርን በቃል ያስታውሱ ይሆናል ለ) ² - 4 የአየር ማቀዝቀዣዎች)። በአንድ ኪዩቢክ ቀመር ውስጥ ፣ የአድሎአዊው እሴት አዎንታዊ ከሆነ ፣ ቀመር ሦስት ትክክለኛ የቁጥር መልሶች አሉት። የአድሎአዊነት እሴት ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ፣ እኩልታው አንድ ወይም ሁለት እውነተኛ የቁጥር መልሶች አሉት ፣ እና አንዳንዶቹ መልሶች ተመሳሳይ እሴት አላቸው። እሴቱ አሉታዊ ከሆነ ፣ ስሌቱ አንድ እውነተኛ የቁጥር መልስ ብቻ አለው ፣ ምክንያቱም የቀመር ግራፉ ሁል ጊዜ ቢያንስ አንድ ጊዜ የ x ዘንግን ያቋርጣል።)

  • በዚህ ምሳሌ ፣ ሁለቱም 0 እና 1 = 0 ፣ እሴቱን ማግኘት በጣም ቀላል ነው። እኛ በሚከተለው መንገድ ማስላት ብቻ ያስፈልገናል-

    2018-03-01 እልልልልልልልልልልልልልልልልልልል² - 4Δ0³) -27 ሀ ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 = ፣ ስለዚህ የእኛ ቀመር 1 ወይም 2 መልሶች አሉት።

  

  ደረጃ 5. አስል C = ³(((Δ1² - 4Δ0³) +1)/ 2)።

  ለእኛ ለማግኘት አስፈላጊ የሆነው የመጨረሻው እሴት የ C እሴት ነው። ይህ እሴት የእኛን ሦስት ኪዩቢክ ስኩዌር ሥሮች እንድናገኝ ያስችለናል። የ 1 እና 0 እሴቶችን ወደ ቀመር ውስጥ በማስገባት እንደተለመደው ይፍቱ።

  • በዚህ ምሳሌ ፣ የ C ን እሴት በ እናገኛለን -

    ³(((Δ1² - 4 - 0³) +1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = ሐ

  

  ደረጃ 6. የእኩልታውን ሶስት ሥሮች ከተለዋዋጭዎ ጋር ያሰሉ።

  የእርስዎ ኪዩቢክ ቀመር (መልስ) በቀመር ይወሰናል (ለ + u ሲ + (Δ0/u ሐ)) / 3 ሀ ፣ የት u = (-1 + (-3))/2 እና n ከ 1 ፣ 2 ፣ ወይም 3. ጋር እኩል ነው ፣ እነሱን ለመፍታት ቀመርዎን ወደ ቀመር ይሰኩ-ማድረግ ያለብዎት ጥቂት ስሌቶች ሊኖሩ ይችላሉ ፣ ግን ሦስቱም የኩቢክ እኩልዮሽ መልሶችዎን ማግኘት አለብዎት!

  • በዚህ ምሳሌ ውስጥ ፣ n 1 ፣ 2 ፣ እና 3. እኩል በሚሆንበት ጊዜ መልሶቹን በመፈተሽ እንፈታው ይሆናል። እኛ ከዚህ ስሌት የምናገኘው መልስ ለኩብ እኩልታችን የሚቻል መልስ ነው - ማንኛውንም እሴት ወደ ኪዩቢክ ስሌት የምንሰካ እና እሱ የሚሰጠውን ይሰጣል። ተመሳሳይ ውጤት። ከ 0 ጋር ፣ ትክክለኛው መልስ ነው። ለምሳሌ ፣ በእኛ የስሌት ሙከራዎች በአንዱ ከሆነ ፣ 1 እኩል የሆነ መልስ ካገኘን ፣ እሴቱን 1 ወደ ቀመር x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 የመጨረሻውን ውጤት ከ 0. ጋር እኩል ያደርጋል

    ደረጃ 1 ለኩብ እኩልታችን መልሶች አንዱ ነው።