የካሬ ግራፍ እንዴት እንደሚሳል 10 ደረጃዎች (ከስዕሎች ጋር)

2024 ደራሲ ደራሲ: Jason Gerald | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-02-01 14:11

በግራፊክ ሲወከል ፣ ባለአራትዮሽ ቀመር ከቅጹ ነው መጥረቢያ² + bx + c ወይም ሀ (x - h)² + ኪ ፊደል U ወይም የተገለበጠ የ U ኩርባ ፓራቦላ ተብሎ ይጠራል። ባለአራትዮሽ ቀመርን መቅረጽ ወደ ጫፉ ፣ አቅጣጫውን እና ብዙውን ጊዜ የ x እና y መስቀልን ይፈልጋል። በጣም ቀላል በሆነ ባለአራትዮሽ እኩልታዎች ውስጥ ፣ የ x እሴቶችን ስብስብ ማስገባት እና በውጤቱ ነጥቦች ላይ በመመርኮዝ ኩርባውን ማቀድ በቂ ሊሆን ይችላል። ለመጀመር ከዚህ በታች ደረጃ 1 ን ይመልከቱ።

ደረጃ

ደረጃ 1. ያለዎትን ባለ አራት ማዕዘን ቀመር ቅጽ ይወስኑ።

ባለአራትዮሽ እኩልታዎች በሦስት የተለያዩ ዓይነቶች ሊፃፉ ይችላሉ -አጠቃላይ ቅጽ ፣ የአከርካሪ ቅርፅ እና አራት ማዕዘን ቅርፅ። ባለአራትዮሽ ቀመርን ለመሳል ማንኛውንም ቅጽ መጠቀም ይችላሉ ፣ እያንዳንዱን ግራፍ የማሳየት ሂደት ትንሽ የተለየ ነው። የቤት ስራን እየሰሩ ከሆነ ፣ ከእነዚህ ሁለት ቅጾች በአንዱ ጥያቄዎችን ይቀበላሉ - በሌላ አነጋገር ፣ እርስዎ መምረጥ አይችሉም ፣ ስለዚህ ሁለቱንም መረዳት የተሻለ ነው። የሁለትዮሽ ቀመር ሁለት ዓይነቶች -

• አጠቃላይ ቅጽ።

  በዚህ ቅጽ ፣ ባለአራትዮሽ ቀመር እንደሚከተለው ተፃፈ - ረ (x) = መጥረቢያ² + bx + c ሀ ፣ ለ እና ሐ እውነተኛ ቁጥሮች ሲሆኑ ሀ ዜሮ ያልሆነ።

  ለምሳሌ ፣ የአጠቃላይ ቅጽ ሁለት ባለአራትዮሽ እኩልታዎች ረ (x) = x ናቸው² + 2x + 1 እና ረ (x) = 9x² + 10x -8።

• ከፍተኛው ቅርፅ።

  በዚህ ቅጽ ፣ ባለአራትዮሽ እኩልታው እንደሚከተለው ተፃፈ - f (x) = a (x - h)² + k የት a ፣ h እና k እውነተኛ ቁጥሮች ሲሆኑ ሀ ደግሞ ዜሮ አይደለም። ኤች እና ኬ ወዲያውኑ (ነጥብ ፣ ሸ) ላይ የፓራቦላዎን ጫፍ (መካከለኛ ነጥብ) ስለሚሰጡ የአከርካሪው ቅርፅ ይባላል።

  ሁለቱ የ vertex ቅጽ እኩልታዎች f (x) = 9 (x - 4) ናቸው² + 18 እና -3 (x - 5)² + 1

• ማንኛውንም የእኩልታ ዓይነት ግራፍ ለማድረግ በመጀመሪያ የከርቦው ጫፍ (h ፣ k) የሆነውን ከፓራቦላ ጫፍ ማግኘት አለብን። በከፍተኛው ቅጽ ውስጥ የከፍታዎች መጋጠሚያዎች እንደሚከተለው ይሰላሉ -h = -b/2a እና k = f (h) ፣ በከፍተኛው ቅጽ ውስጥ ፣ h እና k በቀመር ውስጥ ናቸው።

ደረጃ 2. ተለዋዋጮችዎን ይግለጹ።

ባለአራትዮሽ ችግርን ለመፍታት ተለዋዋጮች ሀ ፣ ለ ፣ እና ሐ (ወይም ሀ ፣ ሸ እና k) ብዙውን ጊዜ መገለጽ አለባቸው። አንድ ተራ የአልጀብራ ችግር ከሚገኙት ተለዋዋጮች ጋር ባለ አራት ማዕዘን ቀመር ይሰጣል ፣ ብዙውን ጊዜ በአጠቃላይ ፣ ግን አንዳንድ ጊዜ በከፍተኛ ደረጃ።

• ለምሳሌ ፣ ለአጠቃላይ ቅጽ እኩልነት f (x) = 2x² + 16x + 39 ፣ እኛ = 2 ፣ ለ = 16 እና ሐ = 39 አለን።
• ለከፍተኛው ቅጽ እኩልነት f (x) = 4 (x - 5)² + 12 ፣ እኛ = 4 ፣ ሸ = 5 እና k = 12 አለን።

ደረጃ 3. ሂ

በ vertex form equation ውስጥ የእርስዎ ሸ እሴት አስቀድሞ ተሰጥቷል ፣ ግን በአጠቃላይ የቅፅ እኩልታ ውስጥ ፣ የ h እሴት ማስላት አለበት። ያስታውሱ ፣ ለአጠቃላይ ቅጽ እኩልታዎች ፣ h = -b/2a።

• በእኛ አጠቃላይ ቅጽ ምሳሌ (ረ (x) = 2x)² + 16x + 39) ፣ h = -b/2a = -16/2 (2)። መፍትሄ ካገኘን በኋላ h = - 4.
• በእኛ የአከርካሪ ቅርፅ ምሳሌ (f (x) = 4 (x - 5)² + 12) ፣ ምንም ሂሳብ ሳናደርግ h = 5 መሆኑን እናውቃለን።

ደረጃ 4. ማስላት k

ልክ እንደ h ፣ k አስቀድሞ በከፍተኛው ቅጽ ቀመር ውስጥ ይታወቃል። ለአጠቃላይ ቅጽ እኩልታዎች ፣ ያንን ያስታውሱ k = f (h)። በሌላ አነጋገር ፣ በእኩልዎ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም የ x እሴቶች አሁን ባገኙት የ h እሴቶች በመተካት k ማግኘት ይችላሉ።

• እኛ በአጠቃላይ ቅጽ ምሳሌያችን ወስነናል h = -4. K ን ለማግኘት ፣ በ x ምትክ የ h ዋጋችንን በመሰካት የእኛን ቀመር እንፈታለን

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39።

  • k = 32 - 64 + 39 =

    ደረጃ 7.

• በእኛ ከፍተኛ ቅጽ ምሳሌ ፣ እንደገና ፣ ምንም ሂሳብ ሳያስፈልግ የ k (12 ን ነው) ዋጋን እናውቃለን።

ደረጃ 5. ጫፍዎን ይሳሉ።

የፓራቦላዎ ጫፍ ነጥብ (ሸ ፣ k) ነው-ሸ የ x- አስተባባሪን ይወክላል ፣ k ደግሞ y-coordinate ን ይወክላል። ጫፉ የአንተ ፓራቦላ መካከለኛ ነጥብ ነው - በ U ታች ወይም በተገላቢጦሽ U አናት ላይ። ጫፎቹን ማወቅ ትክክለኛውን ፓራቦላ ለመሳል አስፈላጊ አካል ነው - ብዙውን ጊዜ ፣ በትምህርት ቤት ሥራ ውስጥ ፣ ጫፉን መወሰን በጥያቄ ውስጥ መፈለግ ያለበት ክፍል ነው።

• በእኛ አጠቃላይ የቅፅ ምሳሌ ፣ የእኛ ጫፍ (-4 ፣ 7) ነው። ስለዚህ የእኛ ፓራቦላ ከላይ ከ 0 እና ከ 7 ደረጃዎች (0 ፣ 0) 4 ደረጃዎችን ወደ ግራ ያበቃል። መጋጠሚያዎቹን ምልክት ማድረጋችንን በማረጋገጥ ይህንን ነጥብ በግራፋችን ውስጥ ማሳየት አለብን።
• በእኛ የአከርካሪ ቅርፅ ምሳሌ ፣ የእኛ ጫፍ (5 ፣ 12) ነው። ነጥቡን 5 ደረጃዎች ወደ ቀኝ እና ከላይ 12 ደረጃዎች (0 ፣ 0) መሳል አለብን።

ደረጃ 6. የፓራቦላውን ዘንግ (አማራጭ)።

የአንድ ፓራቦላ የተመጣጠነ ዘንግ በመሃል ላይ የሚያልፍ መስመር ነው ፣ በመሃል ላይ በትክክል ይከፍላል። በዚህ ዘንግ ላይ የፓራቦላው ግራ ጎን ትክክለኛውን ጎን ያንፀባርቃል። በቅፅ መጥረቢያ ውስጥ ለአራትዮሽ እኩልታዎች² + bx + c ወይም a (x - h)² + k ፣ የተመጣጠነ ዘንግ ከ y- ዘንግ (በሌላ አነጋገር ፣ በትክክል አቀባዊ) ትይዩ የሆነ እና በቋፍ በኩል የሚያልፍ መስመር ነው።

በእኛ አጠቃላይ ቅጽ ምሳሌ ፣ ዘንግ ከ y- ዘንግ ጋር ትይዩ እና ነጥቡን (-4 ፣ 7) የሚያልፍ መስመር ነው። ምንም እንኳን የፓራቦላ አካል ባይሆንም ፣ ይህንን መስመር በግራፍዎ ላይ በቀጭኑ ምልክት ማድረጉ በመጨረሻ የፓራቦላውን ኩርባ የተመጣጠነ ቅርፅ እንዲመለከቱ ይረዳዎታል።

ደረጃ 7. የፓራቦላውን የመክፈቻ አቅጣጫ ይፈልጉ።

የፓራቦላውን ጫፍ እና ዘንግ ካወቅን በኋላ ፣ ፓራቦላው ወደ ላይ ወይም ወደ ታች ይከፈት እንደሆነ ማወቅ አለብን። እንደ እድል ሆኖ ፣ ይህ ቀላል ነው። የአንድ እሴት አዎንታዊ ከሆነ ፓራቦላው ወደ ላይ ይከፈታል ፣ የአንድ እሴት አሉታዊ ከሆነ ግን ፓራቦላ ወደ ታች ይከፈታል (ማለትም ፓራቦላ ይገለበጣል)።

• ለእኛ አጠቃላይ ቅጽ ምሳሌ (ረ (x) = 2x)² + 16x + 39) ፣ እኛ በእኛ ቀመር ውስጥ = 2 (አዎንታዊ) የሚከፈት ፓራቦላ እንዳለን እናውቃለን።
• ለእኛ የአከርካሪ ቅርፅ ምሳሌ (f (x) = 4 (x - 5)² + 12) ፣ እኛ ደግሞ የሚከፈተው ፓራቦላ እንዳለን እናውቃለን ምክንያቱም a = 4 (አዎንታዊ)።

ደረጃ 8. ካስፈለገ የ x-intercept ን ይፈልጉ እና ይሳሉ።

ብዙውን ጊዜ ፣ በትምህርት ቤት ሥራ ውስጥ ፣ በፓራቦላ ውስጥ የ x-intercept ን እንዲያገኙ ይጠየቃሉ (ይህም ፓራቦላ ከ x ዘንግ ጋር የሚገናኝበት አንድ ወይም ሁለት ነጥብ ነው)። ምንም እንኳን አንድ ባያገኙም ፣ እነዚህ ሁለት ነጥቦች ትክክለኛ ፓራቦላን ለመሳል በጣም አስፈላጊ ናቸው። ሆኖም ፣ ሁሉም ፓራቦላዎች የ x- ጣልቃ ገብነት የላቸውም። የእርስዎ ፓራቦላ የሚከፈት አከርካሪ ካለው እና ጫፉ ከ x ዘንግ በላይ ከሆነ ወይም ወደ ታች ከከፈተ እና ጫፉ ከ x ዘንግ በታች ከሆነ ፣ ፓራቦላ ምንም የ x- ጣልቃ ገብነት አይኖረውም. አለበለዚያ ፣ ከሚከተሉት መንገዶች በአንዱ የእርስዎን x- መጥለፍ ይፍቱ

• ልክ f (x) = 0 ያድርጉ እና እኩልታውን ይፍቱ። ይህ ዘዴ ለቀላል ኳድራዊ እኩልታዎች ፣ በተለይም በከፍተኛው ቅርፅ ላይ ሊያገለግል ይችላል ፣ ግን ለተወሳሰቡ እኩልታዎች በጣም ከባድ ይሆናል። ለምሳሌ ከዚህ በታች ይመልከቱ

  • ረ (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • ሥር (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12። x = 11 እና 13 በፓራቦላ ውስጥ የ x- መጥለፍ ነው።

• ቀመርዎን ያስሉ። አንዳንድ እኩልታዎች በቅጽ መጥረቢያ² + bx + c በቀላሉ ወደ ቅጽ (dx + e) (fx + g) ሊገባ ይችላል ፣ እዚያም dx × fx = መጥረቢያ²፣ (dx × g + fx × e) = bx ፣ እና e × g = c. በዚህ ሁኔታ ፣ የእርስዎ x-interception በ x ቅንፎች ውስጥ ማንኛውንም ቃል የሚያደርግ የ x እሴቶች ናቸው = 0. ለምሳሌ ፦

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • በዚህ ሁኔታ ፣ የእርስዎ ብቸኛ የ x -intercept -1 ነው ምክንያቱም x እኩል -1 ማድረጉ በቅንፍ ውስጥ ማንኛውንም የምክንያት ቃል 0 እኩል ያደርገዋል።

• አራት ማዕዘን ቀመር ይጠቀሙ። የእርስዎን x-intercept በቀላሉ መፍታት ካልቻሉ ወይም ቀመርዎን ማመዛዘን ካልቻሉ ፣ ለዚሁ ዓላማ የተፈጠረ ባለአራት ቀመር የሚባል ልዩ ቀመር ይጠቀሙ። እስካሁን ካልተፈታ ፣ ቀመርዎን ወደ ቅጽ መጥረቢያ ይለውጡት² + bx + c ፣ ከዚያ a ፣ b እና c ወደ ቀመር x = (-b +/- sqrt (ለ)) ያስገቡ² - 4ac))/2 ሀ. ይህ ዘዴ ብዙውን ጊዜ ለ x እሴት ሁለት መልሶችን እንደሚሰጥዎት ልብ ይበሉ ፣ ይህ ማለት እሺ ነው-ይህ ማለት የእርስዎ ፓራቦላ ሁለት x-interception አለው ማለት ነው። አንድ ምሳሌ ከዚህ በታች ይመልከቱ-

  • -5x² +1x + 10 እንደሚከተለው በአራትዮሽ ቀመር ውስጥ ተካትቷል-
  • x = (-1 +/- ሥር (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- ሥር (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- ሥር (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14 ፣ 18)/-10
  • x = (13 ፣ 18/-10) እና (-15 ፣ 18/-10)። በፓራቦላ ውስጥ ያለው የ x- መጥለፍ x = ነው - 1, 318 እና 1, 518
  • የአጠቃላይ ቅጹ ቀዳሚ ምሳሌያችን ፣ 2x² +16x+39 በአራትዮሽ ቀመር እንደሚከተለው ተዘርዝሯል -
  • x = (-16 +/- ሥር (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- ሥር (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- ሥር (-56)/-10)
  • የአሉታዊ ቁጥር ካሬ ሥሩን ማግኘት ስለማይቻል ፣ ይህ ፓራቦላ መሆኑን እናውቃለን የ x- ጣልቃ ገብነት የለውም.

ደረጃ 9. ካስፈለገ የ y-intercept ን ይፈልጉ እና ይሳሉ።

የ y-intercept ን በእኩልነት (ፓራቦላ በ y ዘንግ ውስጥ የሚያልፍበት ነጥብ) መፈለግ ብዙውን ጊዜ አስፈላጊ ባይሆንም ፣ በተለይ እርስዎ ትምህርት ቤት ውስጥ ከሆኑ ሊያገኙት ይችላሉ። ሂደቱ በጣም ቀላል ነው-x = 0 ያድርጉ ፣ ከዚያ እኩልነትዎን ለ f (x) ወይም y ይፍቱ ፣ ይህም የእርስዎ ፓራቦላ በ y ዘንግ ውስጥ የሚያልፍበትን የ y እሴት ይሰጣል። ከ x-intercept በተቃራኒ ፣ መደበኛ ፓራቦላ አንድ y-intercept ብቻ ሊኖረው ይችላል። ማስታወሻ-ለአጠቃላይ ቅጽ እኩልታዎች ፣ y-intercept በ y = c ላይ ነው።

• ለምሳሌ ፣ የእኛ አራት ማዕዘን ቀመር 2x መሆኑን እናውቃለን² + 16x + 39 በ y = 39 ላይ y-intercept አለው ፣ ግን በሚከተለው መንገድም ሊገኝ ይችላል-

  • ረ (x) = 2x² +16x+39
  • ረ (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • ረ (x) = 39. የፓራቦላ የ y- መጥለፍ በ y = 39.

    ከላይ እንደተገለፀው ፣ y-intercept በ y = c ላይ ነው።

• የእኛ የ vertex ቀመር ቅርፅ 4 (x - 5) ነው² + 12 በሚከተለው መንገድ ሊገኝ የሚችል y-intercept አለው

  • ረ (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • ረ (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • ረ (x) = 4 (-5)² + 12
  • ረ (x) = 4 (25) + 12

  • ረ (x) = 112. የፓራቦላ የ y- መጥለፍ በ y = 112.

  

  ደረጃ 10. ካስፈለገ ተጨማሪ ነጥቦችን ይሳሉ ፣ ከዚያ ግራፍ ይሳሉ።

  አሁን በእርስዎ ቀመር ውስጥ የቋፍ ፣ አቅጣጫ ፣ የ x- መጥለፍ እና ምናልባትም y-intercept አለዎት። በዚህ ደረጃ ፣ እርስዎ እንደ መመሪያ ያለዎትን ነጥቦች በመጠቀም ፓራቦላዎን ለመሳል መሞከር ወይም እርስዎ የሚስቡት ኩርባ የበለጠ ትክክለኛ እንዲሆን ፓራቦላዎን ለመሙላት ሌሎች ነጥቦችን መፈለግ ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ ቀላሉ መንገድ በማንኛውም የዳርቻዎ ክፍል ውስጥ አንዳንድ የ x- እሴቶችን ማስገባት ነው ፣ ከዚያ ያገኙትን y- እሴቶች በመጠቀም እነዚህን ነጥቦች ማሴር ነው። ብዙ ጊዜ መምህራን ፓራቦላዎን ከመሳልዎ በፊት ብዙ ነጥቦችን እንዲፈልጉ ይጠይቁዎታል።

  • ቀመር x ን እንከልስ² + 2x + 1. x -intercept በ x = -1 ላይ ብቻ መሆኑን አስቀድመን እናውቃለን። ኩርባው በአንድ ነጥብ ላይ የ x-intercept ን ብቻ ስለሚነካ ፣ ጫፉ የ x-intercept ነው ብለን መደምደም እንችላለን ፣ ይህ ማለት ጫፉ (-1 ፣ 0) ነው። እኛ ለዚህ ፓራቦላ አንድ ነጥብ ብቻ አለን - ጥሩ ፓራቦላ ለመሳል በቂ አይደለም። እኛ ጥልቅ ግራፍ መዘጋጀታችንን ለማረጋገጥ ሌሎች ነጥቦችን እንፈልግ።

    • ለሚከተሉት የ x እሴቶች 0 ፣ 1 ፣ -2 እና -3 የ y እሴቶችን እናገኝ።
    • ለ 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. ነጥባችን ነው (0, 1).

    • ለ 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. ነጥባችን ነው (1, 4).

    • ለ -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. ነጥባችን ነው (-2, 1).

    • ለ -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. ነጥባችን ነው (-3, 4).

    • እነዚህን ነጥቦች በግራፉ ላይ ይሳሉ እና የ U- ቅርፅዎን ኩርባ ይሳሉ። ፓራቦላ ፍጹም የተመጣጠነ መሆኑን ልብ ይበሉ - በፓራቦላ በአንዱ በኩል ያሉት ነጥቦችዎ ኢንቲጀሮች ሲሆኑ ፣ በፓራቦላ በሌላኛው በኩል ተመሳሳይ ነጥብ ለማግኘት በፓራቦላ ዘንግ ዘንግ ላይ የተሰጠውን ነጥብ በቀላሉ የማንፀባረቅ ስራን መቀነስ ይችላሉ።.

  ጠቃሚ ምክሮች

  • በአልጀብራ አስተማሪዎ ጥያቄ መሠረት ክብ ቁጥሮች ወይም ክፍልፋዮችን ይጠቀሙ። ይህ የአራትዮሽ ቀመርን በተሻለ ሁኔታ እንዲስሉ ይረዳዎታል።
  • በ f (x) = መጥረቢያ ውስጥ መሆኑን ልብ ይበሉ² + bx + c ፣ b ወይም c ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ፣ እነዚህ ቁጥሮች ይጠፋሉ። ለምሳሌ ፣ 12x² + 0x + 6 12x ይሆናል² + 6 ምክንያቱም 0x 0 ስለሆነ።