ባለ ሦስትዮሽነትን የሚያረጋግጡ 3 መንገዶች

2024 ደራሲ ደራሲ: Jason Gerald | [email protected]. ለመጨረሻ ጊዜ የተሻሻለው: 2024-01-15 08:08

ሥላሴ ሦስት ቃላትን ያካተተ የአልጀብራ አገላለጽ ነው። ምናልባትም ፣ ባለአራትዮሽ ሥላሴ እንዴት እንደሚለዩ መማር ይጀምራሉ ፣ ማለትም በመጥረቢያ መልክ የተፃፈ ሥላሴ² + bx + c. ለመማር ጥቂት ብልሃቶች አሉ ፣ ይህም ለብዙ የተለያዩ ባለአራትዮሽ ሥላሴ ዓይነቶች ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል ፣ ግን በተግባር በተሻለ እና በፍጥነት ሊጠቀሙባቸው ይችላሉ። ከፍ ያለ ቅደም ተከተሎች ፣ እንደ x ካሉ ቃላት ጋር³ ወይም x⁴፣ ሁል ጊዜ በተመሳሳይ መንገድ ሊፈታ አይችልም ፣ ግን እንደ ማንኛውም ሌላ ባለአራትዮሽ ቀመር ሊፈታ ወደሚችል ችግር ለመቀየር ብዙውን ጊዜ ቀለል ያለ ፋብሪካን ወይም ምትክ መጠቀም ይችላሉ።

ደረጃ

ዘዴ 1 ከ 3 ፦ Factoring x² + bx + c

ደረጃ 1. የ PLDT ማባዛትን ይማሩ።

እንደ (x+2) (x+4) ያሉ አገላለጾችን ለማባዛት PLDT ን ፣ ወይም “መጀመሪያ ፣ ውጭ ፣ ውስጥ ፣ የመጨረሻ” እንዴት እንደሚባዙ ተምረው ይሆናል። እኛ ከማመዛዘንዎ በፊት ይህ ማባዛት እንዴት እንደሚሰራ ማወቅ ጠቃሚ ነው-

• ጎሳዎችን ማባዛት አንደኛ: (x+2)(x+4) = x² + _

• ጎሳዎችን ማባዛት ውጭ: (x+2) (x+

  ደረጃ 4) = x²+ 4x + _

• ጎሳዎችን ማባዛት ውስጥ: (x+

  ደረጃ 2)(x+4) = x²+4x+ 2x + _

• ጎሳዎችን ማባዛት የመጨረሻ: (x+

  ደረጃ 2) (x

  ደረጃ 4) = x²+4x+2x

  ደረጃ 8።

• ቀለል ያድርጉ: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

ደረጃ 2. የፋብሪካ ሥራን መገንዘብ።

የ PLDT ዘዴን በመጠቀም ሁለት ቢኖሚሎችን ሲያባዙ ፣ በ x መልክ ሦስትዮሽ (ሦስት ቃላት ያሉት አገላለጽ) ያገኛሉ²+ b x+ c ፣ ሀ ፣ ለ እና ሐ ተራ ቁጥሮች ባሉበት። ተመሳሳዩ ቅጽ ባለው ቀመር ከጀመሩ ፣ መልሰው ወደ ሁለት ቢኖሚሎች ሊመልሱት ይችላሉ።

• እኩልዮቹ በዚህ ቅደም ተከተል ካልተፃፉ ፣ ይህ ትዕዛዝ እንዲኖራቸው እኩልዮቹን እንደገና ያስተካክሉ። ለምሳሌ ፣ እንደገና ይፃፉ 3x - 10 + x² ይሆናል x² + 3x - 10.
• ምክንያቱም ከፍተኛው ኃይል 2 (x²፣ ይህ ዓይነቱ አገላለጽ አራት ማዕዘን ይባላል።

ደረጃ 3. ለመልሱ ባዶ ቦታ በ PLDT ማባዛት መልክ ይተው።

ለአሁን ፣ ይፃፉ (_ _)(_ _) መልሱን የት እንደሚጽፉ። በእሱ ላይ እየሠራን እንሞላለን

ትክክለኛውን ምልክት ገና ስለማናውቅ + ወይም - በባዶ ውሎች መካከል አይፃፉ።

ደረጃ 4. የመጀመሪያዎቹን ቃላት ይሙሉ።

ለቀላል ችግሮች ፣ የሥላሴዎ የመጀመሪያ ቃል x ብቻ ነው²፣ በመጀመሪያው አቋም ውስጥ ያሉት ውሎች ሁል ጊዜ ናቸው x እና x. እነዚህ የ x የሚለው ቃል ምክንያቶች ናቸው² ምክንያቱም x ጊዜያት x = x².

• የእኛ ምሳሌ x² + 3x - 10 በ x ይጀምራል²፣ ስለዚህ እኛ መጻፍ እንችላለን-
• (x _) (x _)
• እንደ 6x ባሉ ቃላት የሚጀምሩ ሥላሴዎችን ጨምሮ በሚቀጥለው ክፍል ይበልጥ ውስብስብ ችግሮች ላይ እንሠራለን² ወይም -x². እስከዚያ ድረስ እነዚህን የናሙና ጥያቄዎች ይከተሉ።

ደረጃ 5. የመጨረሻዎቹን ውሎች ለመገመት የፋይበር ሥራን ይጠቀሙ።

ወደ ኋላ ተመልሰው PLDT ን እንዴት ማባዛት እንደሚችሉ ደረጃዎቹን ካነበቡ ፣ የመጨረሻዎቹን ውሎች ማባዛት የመጨረሻውን ቃል በብዙ መቶኛ (x የሌላቸው ቃላት) እንደሚያፈራ ያያሉ። ስለዚህ ለማመዛዘን ፣ ሲባዛ የመጨረሻውን ቃል የሚያወጡ ሁለት ቁጥሮችን ማግኘት አለብን።

• በእኛ ምሳሌ x² + 3x - 10 ፣ የመጨረሻው ቃል -10 ነው።
• -10 ምክንያቶች ምንድን ናቸው? በምን ቁጥር በ -10 ተባዝቷል?
• በርካታ አጋጣሚዎች አሉ -1 ጊዜ 10 ፣ 1 ጊዜ -10 ፣ -2 ጊዜ 5 ፣ ወይም 2 ጊዜ -5። ለማስታወስ እነዚህን ጥንዶች በአንድ ቦታ ላይ ይፃፉ።
• እስካሁን መልሳችንን አይቀይሩ። መልሳችን አሁንም እንደዚህ መሆን አለበት - (x _) (x _).

ደረጃ 6. ከውጭ እና ከውስጥ ምርት ጋር የሚጣጣሙትን አጋጣሚዎች ይፈትሹ።

የመጨረሻዎቹን ውሎች ወደ ጥቂት አማራጮች ጠባብ አድርገናል። እያንዳንዱን ዕድል ለመፈተሽ ፣ የውጪውን እና የውስጥ ውሎቹን በማባዛት እና ምርቱን ከስላሴያችን ጋር በማወዳደር የሙከራ ስርዓቱን ይጠቀሙ። ለምሳሌ:

• የመጀመሪያው ችግራችን “x” የሚለው ቃል በ 3 x ነበር ፣ ስለዚህ የፈተና ውጤቶቻችን ከዚህ ቃል ጋር መዛመድ አለባቸው።
• ሙከራዎች -1 እና 10: (x -1) (x+10)። ውጭ + ውስጥ = 10x - x = 9x። የተሳሳተ።
• ሙከራዎች 1 እና -10: (x+1) (x -10)። -10x + x = -9x. ይህ ስህተት ነው። በእውነቱ ፣ -1 እና 10 ን ከሞከሩ ፣ 1 እና -10 ከላይ ካለው መልስ ተቃራኒ መሆናቸውን ያገኛሉ -9x በ 9x ምትክ።
• ሙከራዎች -2 እና 5: (x -2) (x+5)። 5x - 2x = 3x. ውጤቱ ከመጀመሪያው ፖሊኖማዊ ጋር ይዛመዳል ፣ ስለዚህ ትክክለኛው መልስ እዚህ አለ (x-2) (x+5).
• እንደዚህ ባሉ ቀላል ጉዳዮች ፣ x በሚለው ቃል ፊት ቋሚ ከሌለዎት²፣ ፈጣን መንገድን መጠቀም ይችላሉ-ሁለቱን ምክንያቶች ብቻ ያክሉ እና “x” ከጀርባው (-2+5 → 3x) ያስቀምጡ። ሆኖም ፣ ይህ ዘዴ ለተወሳሰቡ ውስብስብ ችግሮች አይሰራም ፣ ስለሆነም ከላይ የተገለጸውን “ረጅም መንገድ” ማስታወሱ የተሻለ ነው።

ዘዴ 2 ከ 3: የበለጠ ውስብስብ ትሪኖሚሊያዎችን ማጠንከር

ደረጃ 1. ይበልጥ ውስብስብ ችግሮች ቀለል እንዲሉ ለማድረግ ቀለል ያለ ፋብሪካን ይጠቀሙ።

ለምሳሌ ፣ ማመዛዘን አለብዎት 3x² + 9x - 30. ሦስቱን ውሎች (“ትልቁ የጋራ ምክንያት” ወይም ጂ.ሲ.ኤፍ.) የሚያመላክት ቁጥር ያግኙ። በዚህ ሁኔታ GCF 3 ነው -

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• ስለዚህ ፣ 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10)። ከላይ ባለው ክፍል ውስጥ ያሉትን ደረጃዎች በመጠቀም አዲሱን ሥላሴ ማመላከት እንችላለን። የመጨረሻ መልሳችን ይሆናል (3) (x-2) (x+5).

ደረጃ 2. ይበልጥ የተወሳሰቡ ነገሮችን ይፈልጉ።

አንዳንድ ጊዜ ፋብሪካው ተለዋዋጭ (ተለዋዋጭ) ሊያካትት ይችላል ፣ ወይም በጣም ቀላል የሆነውን አገላለጽ ለማግኘት ብዙ ጊዜ ማመላከት ያስፈልግዎታል። አንዳንድ ምሳሌዎች እነሆ -

• 2x²y + 14xy + 24y = (2 ይ)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• በ 1. ዘዴ ውስጥ ያሉትን ደረጃዎች በመጠቀም አዲሱን ሥላሴ ማደስን አይርሱ። ሥራዎን ይፈትሹ እና በዚህ ገጽ ግርጌ አቅራቢያ ባለው የናሙና ጥያቄዎች ውስጥ ተመሳሳይ ችግሮች ምሳሌዎችን ይፈልጉ።

ደረጃ 3. ችግሮችን በ x ፊት ባለው ቁጥር ይፍቱ².

አንዳንድ ባለአራትዮሽ ሥላሴዎች ወደ ቀላሉ የችግር ዓይነት መቀነስ አይችሉም። እንደ 3x ያሉ ችግሮችን እንዴት እንደሚፈቱ ይወቁ² + 10x + 8 ፣ ከዚያ በዚህ ገጽ ታችኛው ክፍል ላይ ከሚገኙት ናሙና ጥያቄዎች ጋር በራስዎ ይለማመዱ

• መልሳችንን እንደሚከተለው ያዘጋጁት - (_ _)(_ _)
• የእኛ “የመጀመሪያ” ውሎች እያንዳንዳቸው አንድ x ይኖራቸዋል ፣ እና እነሱን ማባዛት 3x ይሰጣል². አንድ ዕድል ብቻ አለ - (3x _) (x _).
• የ 8. ምክንያቶችን ይዘርዝሩ 8. ዕድሉ 1 ጊዜ 8 ወይም 2 ጊዜ 4 ነው።
• ውጫዊ እና ውስጣዊ ውሎችን በመጠቀም ይህንን ዕድል ይሞክሩ። የውጪው ቃል ከ x ይልቅ በ 3x ስለሚባዛ የነገሮች ቅደም ተከተል በጣም አስፈላጊ መሆኑን ልብ ይበሉ። እስኪያወጡ ድረስ እያንዳንዱን አጋጣሚ ይሞክሩ+In = 10x (ከመጀመሪያው ችግር)
• (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x አይ
• (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x አይ
• (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x አይ
• (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x አዎ. ይህ ትክክለኛው ምክንያት ነው።

ደረጃ 4. ለከፍተኛ ደረጃ ትሪኖሚያሎች ምትክ ይጠቀሙ።

የሂሳብ መጽሐፍዎ እንደ x ባሉ ከፍተኛ ኃይሎች እኩልታዎች ሊያስገርምህ ይችላል⁴፣ ችግሩን ለማቃለል ቀላል የፋብሪካ ሥራን ከተጠቀሙ በኋላ እንኳን። እንዴት እንደሚፈቱ ወደሚያውቁት ችግር የሚቀይር አዲስ ተለዋዋጭ ለመተካት ይሞክሩ። ለምሳሌ:

• x⁵+13x³+36x
• = (x) (x⁴+13x²+36)
• አዲስ ተለዋዋጭ እንፍጠር። Y = x እንበል² እና በውስጡ አስገባ:
• (x) (እ.ኤ.አ.²+13 ይ+36)
• = (x) (y+9) (y+4)። አሁን መልሰው ወደ መጀመሪያው ተለዋዋጭ ይለውጡት
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

ዘዴ 3 ከ 3 - ልዩ ጉዳዮችን ማቋቋም

ደረጃ 1. ዋና ቁጥሮችን ይፈልጉ።

በሥላሴ የመጀመሪያ ወይም ሦስተኛ ጊዜ ውስጥ ያለው ቋሚ ዋና ቁጥር መሆኑን ለማየት ይመልከቱ። አንድ ዋና ቁጥር በራሱ እና 1 ብቻ ሊከፋፈል የሚችል ነው ፣ ስለሆነም ሁለት ሊሆኑ የሚችሉ ጥንድ ሁለት ምክንያቶች ብቻ አሉ።

• ለምሳሌ ፣ በ x² + 6x + 5, 5 ዋናው ቁጥር ነው ፣ ስለዚህ ባለ ሁለትዮሽ (ቅጽ) (_ 5) (_ 1) መሆን አለበት።
• በ 3x ችግር ውስጥ²+10x+8, 3 ዋናው ቁጥር ነው ፣ ስለዚህ ባለ ሁለትዮሽ (ቅጽ) (3x _) (x _) መሆን አለበት።
• ለጥያቄዎች 3x²+4x+1 ፣ ሁለቱም 3 እና 1 ዋና ቁጥሮች ናቸው ፣ ስለዚህ ብቸኛው መፍትሔ (3x+1) (x+1) ነው። (መልሶችዎን ለመፈተሽ አሁንም ይህንን ቁጥር ማባዛት አለብዎት ምክንያቱም አንዳንድ መግለጫዎች በጭራሽ ሊጣመሩ አይችሉም - ለምሳሌ ፣ 3x)²+100x+1 ምንም ምክንያት የለውም።)

ደረጃ 2. ሥላሴው ፍጹም ካሬ መሆኑን ይወቁ።

ፍጹም ካሬ ሥላሴ በሁለት ተመሳሳይ ሁለትዮሽ መለያዎች ሊተከል ይችላል ፣ እና ምክንያቱ ብዙውን ጊዜ እንደ (x+1) ይፃፋል² እና አይደለም (x+1) (x+1)። በጥያቄዎች ውስጥ ለመታየት አንዳንድ ምሳሌዎች እነሆ-

• x²+2x+1 = (x+1)², እና x²-2x+1 = (x-1)²
• x²+4x+4 = (x+2)², እና x²-4x+4 = (x-2)²
• x²+6x+9 = (x+3)², እና x²-6x+9 = (x-3)²
• በ x መልክ ፍጹም ካሬ ሥላሴ² + bx + c ሁል ጊዜ አዎንታዊ ፍጹም አደባባዮች (እንደ 1 ፣ 4 ፣ 9 ፣ 16 ፣ ወይም 25) እና አንድ ቃል ለ (አዎንታዊ ወይም አሉታዊ) እሱም ከ 2 (*a * √c) ጋር እኩል የሆነ ውሎች አሉት.

ደረጃ 3. አንድ ችግር መፍትሄ እንደሌለው ይወቁ።

ሁሉም ሥላሴዎች ሊጣመሩ አይችሉም። ባለአራትዮሽ ሥላሴ ማመጣጠን ካልቻሉ (መጥረቢያ²+bx+c) ፣ መልሱን ለማግኘት ባለአራት ቀመር ይጠቀሙ። ብቸኛው መልስ የአሉታዊ ቁጥር ካሬ ሥር ከሆነ ፣ እውነተኛ የቁጥር መፍትሄ የለም ፣ ከዚያ ችግሩ ምንም ምክንያቶች የሉትም።

ለካሬ ላልሆኑ ሥላሴዎች ፣ በጠቃሚ ምክሮች ክፍል ውስጥ የተገለጸውን የአይዘንታይን መስፈርት ይጠቀሙ።

መልሶች እና ናሙና ጥያቄዎች

1. ለ “ውስብስብ የፋብሪካ ማቋቋም” ጥያቄዎች መልሶች።

   እነዚህ ከ “ይበልጥ የተወሳሰቡ ምክንያቶች” ደረጃ ጥያቄዎች ናቸው። ችግሮቹን ወደ ቀላል ቀለል አድርገናል ፣ ስለዚህ በ 1 ዘዴ ያሉትን ደረጃዎች በመጠቀም እነሱን ለመፍታት ይሞክሩ ፣ ከዚያ ስራዎን እዚህ ይፈትሹ

   • (2 ይ) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (x²) (x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. ይበልጥ የተወሳሰቡ የፋብሪካ ችግሮችን ለመፍታት ይሞክሩ።

   እነዚህ ችግሮች በእያንዲንደ ቃሌ አንዴ ተመሳሳይ ምክንያት አሇባቸው። መልሶችን ለማየት ከእኩል ምልክት በኋላ ባዶዎቹን አግድ ስለዚህ ስራዎን መፈተሽ እንዲችሉ

   • 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) መልሱን ለማየት ባዶውን አግድ
   • -5x³y²+30x²y²-25²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. ጥያቄዎችን በመጠቀም ይለማመዱ. እነዚህ ችግሮች ወደ ቀላል እኩልታዎች ሊለዩ አይችሉም ፣ ስለዚህ ሙከራ እና ስህተት በመጠቀም መልሱን በቅጹ (_x + _) (_ x + _) ማግኘት አለብዎት ፦

   • 2x²መልሱን ለማየት +3x-5 = (2x+5) (x-1) ብሎክ
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (ፍንጭ - ለ 9x ከአንድ በላይ ጥንድ ጥንድ ለመሞከር ይፈልጉ ይሆናል።)

   ጠቃሚ ምክሮች

   • ባለአራትዮሽ ሥላሴ እንዴት እንደሚለዩ ማወቅ ካልቻሉ (መጥረቢያ²+bx+c) ፣ x ን ለማግኘት ባለ አራት ማዕዘን ቀመርን መጠቀም ይችላሉ።

   • ይህንን እንዴት ማድረግ እንዳለብዎ ማወቅ ባይኖርብዎትም ፣ ፖሊኖሚሊያ ቀለል ባለ እና በፋብሪካ የማይሰራ መሆኑን በፍጥነት ለመወሰን የ Eisenstein መስፈርቶችን መጠቀም ይችላሉ። ይህ መመዘኛ ለማንኛውም ፖሊኖሚያል ተፈጻሚ ነው ነገር ግን ለትሪኖሚሎች በተሻለ ጥቅም ላይ ይውላል። የመጨረሻዎቹን ሁለት ውሎች በእኩል የሚከፋፍል እና የሚከተሉትን ሁኔታዎች የሚያሟላ ዋና ቁጥር p ካለ ፣ ከዚያ ባለብዙ ቁጥርን ማቃለል አይቻልም።

     • ቋሚ ውሎች (ያለ ተለዋዋጮች) የ p ብዜቶች ናቸው ግን የ p ብዙ አይደሉም².
     • ቅድመ ቅጥያው (ለምሳሌ ፣ በመጥረቢያ ውስጥ²+bx+c) የብዙ ፒ አይደለም።
     • ለምሳሌ ፣ 14x² +45x +51 ቀለል ሊል አይችልም ምክንያቱም በ 45 እና 51 ሊከፋፈል የሚችል ዋና ቁጥር (3) አለ ፣ ግን በ 14 የማይከፋፈል ፣ እና 51 በ 3 የማይከፋፈል².

   ማስጠንቀቂያ

   ይህ ለ quadratic trinomials እውነት ቢሆንም ፣ መለካት የሚቻለው ሥላሴ የግድ የሁለትዮሽ ስምምነቶች ውጤት አይደለም። ለምሳሌ ፣ x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23)።