ሥሩ ቅርፅ የካሬው ሥር (ወይም የኩብ ሥር ወይም ከዚያ በላይ) ምልክት ያለው የአልጀብራ መግለጫ ነው። ምንም እንኳን በመጀመሪያ በጨረፍታ (ለምሳሌ ፣ 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1)) የተለያዩ ቢመስሉም ይህ ቅጽ ተመሳሳይ እሴት ያላቸውን ሁለት ቁጥሮች ሊወክል ይችላል። ስለዚህ ለዚህ ዓይነቱ ቅጽ “መደበኛ ቀመር” ያስፈልገናል። ሁለት መግለጫዎች ካሉ ፣ ሁለቱም በመደበኛ ቀመር ውስጥ ፣ የተለያዩ የሚመስሉ ፣ እነሱ አንድ አይደሉም። የሂሳብ ሊቃውንት የአራት ማዕዘን ቅርፅ መደበኛ ቀመር የሚከተሉትን መስፈርቶች የሚያሟላ መሆኑን ይስማማሉ።
- ክፍልፋዮችን ከመጠቀም ተቆጠቡ
- ክፍልፋይ ኃይሎችን አይጠቀሙ
- በአመዛኙ ውስጥ የስር ቅርጹን ከመጠቀም ይቆጠቡ
- የሁለት ሥር ቅርጾችን ማባዛት አልያዘም
- ከሥሩ ስር ያሉ ቁጥሮች ከእንግዲህ ሊሰረዙ አይችሉም
የዚህ አንድ ተግባራዊ አጠቃቀም በብዙ የምርጫ ፈተናዎች ውስጥ ነው። መልስ ሲያገኙ ፣ ግን የእርስዎ መልስ ከተገኙት አማራጮች ጋር አንድ አይነት አይደለም ፣ ወደ መደበኛ ቀመር ለማቃለል ይሞክሩ። ጥያቄ ሰሪዎች ብዙውን ጊዜ መልሶችን በመደበኛ ቀመሮች ውስጥ ስለሚጽፉ ፣ ከመልሶቻቸው ጋር ተመሳሳይ እንዲሆኑ ያድርጉ። በድርሰት ጥያቄዎች ውስጥ እንደ “መልስዎን ቀለል ያድርጉት” ወይም “ሁሉንም ሥሮች ቀለል ያድርጉ” ያሉ ትዕዛዞች ተማሪዎች ከላይ እንደተጠቀሰው መደበኛ ቀመር እስኪያገኙ ድረስ የሚከተሉትን ደረጃዎች ማከናወን አለባቸው ማለት ነው። ምንም እንኳን አንዳንድ የእኩልታዎች ዓይነቶች መደበኛ ባልሆኑ ቀመሮች ውስጥ ለመፍታት ቀላል ቢሆኑም ይህ እርምጃ እኩልታዎችን ለመፍታት ሊያገለግል ይችላል።
ደረጃ
ደረጃ 1. አስፈላጊ ከሆነ በዚህ ሂደት ውስጥ እንደምንፈልጋቸው የአሠራር ሥሮች እና ሰፋሪዎች (ሁለቱም እኩል ናቸው - ሥሮች የክፍልፋዮች ኃይሎች ናቸው) ደንቦችን ይከልሱ።
እንዲሁም ፖሊኖሚየሎችን እና ምክንያታዊ ቅርጾችን ለማቃለል ደንቦቹን ማቃለል ስለሚያስፈልገን ይገምግሙ።
ዘዴ 1 ከ 6: ፍጹም ካሬዎች
ደረጃ 1. ፍጹም ካሬዎችን የያዙትን ሥሮች ሁሉ ቀለል ያድርጉት።
ፍጹም ካሬ የአንድ ቁጥር ውጤት ነው ፣ ለምሳሌ 81 ፣ እሱም የ 9 x 9. ምርት የሆነውን ፍጹም ካሬ ለማቃለል ፣ የካሬውን ሥር ብቻ ያስወግዱ እና የቁጥሩን ካሬ ሥር ይፃፉ።
- ለምሳሌ ፣ 121 ፍጹም ካሬ ነው ምክንያቱም 11 x 11 እኩል 121. ስለዚህ ፣ የስር ምልክቱን በማስወገድ ሥሩን (121) ወደ 11 ማቃለል ይችላሉ።
- ይህንን ደረጃ ቀላል ለማድረግ ፣ የመጀመሪያዎቹ አስራ ሁለት ፍጹም ካሬዎችን ማስታወስ ያስፈልግዎታል 1 x 1 = 1 ፣ 2 x 2 = 4 ፣ 3 x 3 = 9 ፣ 4 x 4 = 16 ፣ 5 x 5 = 25 ፣ 6 x 6 = 36 ፣ 7 x 7 = 49 ፣ 8 x 8 = 64 ፣ 9 x 9 = 81 ፣ 10 x 10 = 100 ፣ 11 x 11 = 121 ፣ 12 x 12 = 144
ደረጃ 2. ፍጹም የሆኑ ኩቦችን የያዙትን ሥሮች ሁሉ ቀለል ያድርጉት።
ፍጹም ኩብ አንድን ቁጥር በእራሱ ሁለት ጊዜ የማባዛት ውጤት ነው ፣ ለምሳሌ 27 ፣ እሱም የ 3 x 3 x 3. ውጤት የሆነውን የኩቤን ሥር ቅርፅ ለማቃለል ፣ የካሬውን ሥር ብቻ ያስወግዱ እና የካሬውን ሥር ይፃፉ። ከቁጥሩ።
ለምሳሌ ፣ 343 ፍጹም ኩብ ነው ምክንያቱም የ 7 x 7 x 7. ውጤት ስለሆነ የ 343 ኩብ ሥር 7 ነው።
ዘዴ 2 ከ 6 - ክፍልፋዮችን ወደ ሥሮች መለወጥ
ወይም በሌላ መንገድ መለወጥ (አንዳንድ ጊዜ ይረዳል) ፣ ግን ልክ እንደ ሥር (5) + 5^(3/2) በተመሳሳይ መግለጫ ውስጥ አይቀላቅሏቸው። እኛ የስር ቅጹን መጠቀም እንደሚፈልጉ እንገምታለን እና ለሥሩ ሥሩ የምልክቶች ሥር (n) እና ለኩብ ሥር ስኩዌር^3 (n) እንጠቀማለን።
ደረጃ 1. አንዱን ወደ ክፍልፋዩ ኃይል ወስደው ወደ ሥሩ ቅጽ ይለውጡት ፣ ለምሳሌ x^(a/b) = root ወደ x ኃይል ሀ ኃይል።
የካሬው ሥሩ በክፍልፋይ መልክ ከሆነ ወደ መደበኛው ቅጽ ይለውጡት። ለምሳሌ ፣ የካሬ ሥር (2/3) ከ 4 = ሥር (4)^3 = 2^3 = 8።
ደረጃ 2. አሉታዊ አስፋፊዎችን ወደ ክፍልፋዮች ይለውጡ ፣ ለምሳሌ x^-y = 1/x^y
ይህ ቀመር ለቋሚ እና ምክንያታዊ ሰፋሪዎች ብቻ ይሠራል። እንደ 2^x ካሉ ቅጽ ጋር የሚገናኙ ከሆነ ፣ ችግሩ x ክፍልፋይ ወይም አሉታዊ ቁጥር ሊሆን እንደሚችል ቢያመለክትም ፣ አይቀይሩት።
ደረጃ 3 ተመሳሳይ ጎሳ ያዋህዱ እና የተገኘውን ምክንያታዊ ቅርፅ ቀለል ያድርጉት።
ዘዴ 3 ከ 6 - ክፍልፋዮችን በሥሮች ውስጥ ማስወገድ
መደበኛ ቀመር ሥሩ ኢንቲጀር እንዲሆን ይጠይቃል።
ደረጃ 1. አሁንም አንድ ክፍልፋይ ካለው ከካሬው ሥር ስር ያለውን ቁጥር ይመልከቱ።
አሁንም ቢሆን…
ደረጃ 2. የማንነት ሥር (a/b) = sqrt (a)/sqrt (ለ) በመጠቀም ሁለት ሥሮችን ወደያዘ ክፍልፋይ ይቀይሩ።
አመላካች አሉታዊ ከሆነ ፣ ወይም አሉታዊ ሊሆን የሚችል ተለዋዋጭ ከሆነ ይህንን ማንነት አይጠቀሙ። በዚህ ሁኔታ መጀመሪያ ክፍልፋዩን ቀለል ያድርጉት።
ደረጃ 3. የውጤቱን እያንዳንዱን ፍጹም ካሬ ቀለል ያድርጉት።
ማለትም ፣ sqrt (5/4) ወደ sqrt (5)/sqrt (4) ይለውጡ ፣ ከዚያ ወደ sqrt (5)/2 ቀለል ያድርጉት።
ደረጃ 4. እንደ ውስብስብ ክፍልፋዮችን ማቅለል ፣ እኩል ቃላትን ማዋሃድ ፣ ወዘተ የመሳሰሉትን ሌሎች የማቅለል ዘዴዎችን ይጠቀሙ።
ዘዴ 4 ከ 6: የማባዛት ሥሮችን ማዋሃድ
ደረጃ 1. አንዱን የስር ቅርፅ በሌላ እያባዙ ከሆነ ቀመሩን በመጠቀም ሁለቱን በአንድ ካሬ ሥር ያዋህዱ
sqrt (ሀ)*ስኩዌር (ለ) = ካሬ (ab)። ለምሳሌ ፣ ሥር (2)*ሥር (6) ወደ ሥር (12) ይለውጡ።
- ከላይ ያለው ማንነት ፣ sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab) ፣ በ sqrt ምልክት ስር ያለው ቁጥር አሉታዊ ካልሆነ ትክክል ነው። ሀ እና ለ አሉታዊ በሚሆኑበት ጊዜ ይህንን ቀመር አይጠቀሙ ምክንያቱም ስኩዌር (-1)*ካሬ (-1) = ካሬ (1) በመስራት ስህተት ይሰራሉ። በቀኝ በኩል ያለው መግለጫ +1 ሲሆን በግራ በኩል ያለው መግለጫ ከ -1 (ወይም ውስብስብ ቁጥሮችን የማይጠቀሙ ከሆነ ያልተገለጸ) ነው። አንድ እና/ወይም ለ አሉታዊ ከሆኑ በመጀመሪያ እንደ sqrt (-5) = i*sqrt (5) ምልክቱን “ይለውጡ”። በስሩ ምልክት ስር ያለው ቅጽ ምልክቱ ከአውዱ የማይታወቅ ወይም አዎንታዊ ወይም አሉታዊ ሊሆን የሚችል ተለዋዋጭ ከሆነ ለጊዜው እንደነበረው ይተውት። ለሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ሀ እና ለ የሚመለከተውን የበለጠ አጠቃላይ ማንነት ፣ sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |) ግን ብዙውን ጊዜ ይህ ቀመር ብዙም አይረዳም ምክንያቱም የ sgn (signum) ተግባርን ለመጠቀም ውስብስብነትን ይጨምራል።
- ይህ ማንነት የሚሠራው ሥሮቹ ቅርጾች አንድ ዓይነት ኤክስፕሎረር ካላቸው ብቻ ነው። እንደ ካሬ ካሬ (5)*sqrt^3 (7) ያሉ የተለያዩ ካሬ ሥሮችን ወደ ተመሳሳይ ካሬ ሥር በመለወጥ ማባዛት ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ የካሬ ሥሩን ለጊዜው ወደ ክፍልፋይ ይለውጡ - sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6)። ከዚያ ሁለቱን ወደ 6125 ካሬ ሥሩ ለማባዛት የማባዛት ደንቡን ይጠቀሙ።
ዘዴ 5 ከ 6 - ካሬውን ከሥሩ ማስወገድ
ደረጃ 1. ፍጽምና የጎደላቸውን ሥሮች ወደ ዋና ምክንያቶች ማምጣት።
አንድ ምክንያት በሌላ ቁጥር ሲባዛ ቁጥርን ይፈጥራል - ለምሳሌ ፣ 5 እና 4 ሁለት ምክንያቶች ናቸው። 20 ያልተሟሉ ሥሮችን ለማፍረስ ፣ የቁጥሩን ምክንያቶች ሁሉ (ወይም በተቻለ መጠን ብዙ ፣ ይፃፉ) ፍጹም ካሬ እስኪያገኙ ድረስ ቁጥሩ በጣም ትልቅ ነው)።
ለምሳሌ ፣ ሁሉንም የ 45 1 ፣ 3 ፣ 5 ፣ 9 ፣ 15 ፣ እና 45. 9 ምክንያቶችን ለማግኘት ይሞክሩ። 9 x 5 = 45።
ደረጃ 2. ከካሬው ሥር ውስጥ ፍጹም ካሬ የሆኑ ሁሉንም ማባዣዎችን ያስወግዱ።
9 ፍፁም ካሬ ነው ምክንያቱም የ 3 x ውጤት ነው። 3 ን ከካሬው ሥር አውጥተው በካሬው ሥር 5 በ 5 ይተኩ ፣ በካሬው ሥር 5 ውስጥ ይተው። 3 ን ወደ ካሬ ሥሩ “ካስገቡ” ፣ 9 ለማድረግ በራሱ ይራቡት ፣ እና በ 5 ቢባዙ 45 ይመለሳል። 3 የ 5 ሥሮች የ 45 ን ሥሩ ለመግለጽ ቀላል መንገድ ነው።
ማለትም ፣ ካሬ (45) = ካሬ (9*5) = ካሬ (9)*ካሬ (5) = 3*ካሬ (5)።
ደረጃ 3. በተለዋዋጭ ውስጥ ፍጹም ካሬውን ይፈልጉ።
የአንድ ካሬ ካሬ ሥሩ | a |. የሚታወቀው ተለዋዋጭ አዎንታዊ ከሆነ ይህንን ወደ “ሀ” ብቻ ማቃለል ይችላሉ። የአንድ ካሬ ሥሩ ወደ 3 ኃይል ወደ አራት እጥፍ ጊዜ ወደ ካሬ ሥሩ ሲሰበር ሀ - ሁለት ቁጥሮችን ወደ ሀ ኃይል ስናባዛ ሰፋፊዎቹ እንደሚጨምሩ ያስታውሱ ፣ ስለዚህ አራት እጥፍ እጥፍ እኩል ይሆናል ሦስተኛው ኃይል።
ስለዚህ ፣ በኩብ መልክ ፍጹም ካሬ ካሬ ነው።
ደረጃ 4. ፍጹም ካሬውን የያዘውን ተለዋዋጭ ከካሬው ሥር ያስወግዱ።
አሁን ፣ ከካሬው ሥር አንድ ስኩዌር ወስደው ወደ | a | ይለውጡት. ለ 3 ሀይል ቀላል የሆነው የሥሩ ቅርፅ | a | ሥር ሀ.
ደረጃ 5. እኩል ቃላትን ያጣምሩ እና ሁሉንም የስሌቱ ውጤቶች ሥሮች ቀለል ያድርጉት።
ዘዴ 6 ከ 6 - አመላካችውን ምክንያታዊ ያድርጉ
ደረጃ 1. መደበኛው ቀመር በተቻለ መጠን አኃዛዊው ኢንቲጀር (ወይም ተለዋዋጭ ከያዘ ብዙ ቁጥር ያለው) መሆንን ይጠይቃል።
-
አመላካች በስሩ ምልክት ስር አንድ ቃልን ያካተተ ከሆነ ፣ ለምሳሌ […]/root (5) ፣ ከዚያ ቁጥሩን እና አመዳጁን በዚያ ሥር ያባዙ […]*ካሬ (5)/ካሬ (5)*ካሬ (5) = […]*ሥር (5)/5።
ለኩብ ሥሮች ወይም ከዚያ በላይ ፣ አመላካቹ ምክንያታዊ እንዲሆን በተገቢው ሥሩ ያባዙ። አመላካቹ ሥር^3 (5) ከሆነ ፣ ቁጥሩን እና አመላካቹን በ sqrt^3 (5)^2 ያባዙ።
-
አመላካች እንደ ስኩዌር (2) + ካሬ (6) ያሉ ሁለት ካሬ ሥሮችን ማከል ወይም መቀነስን ካካተተ ፣ መጠነ -መጠኑን እና አመላካቾቹን በተዋሃደባቸው ያባዙ ፣ ይህ ተመሳሳይ ቅጽ ግን በተቃራኒው ምልክት ነው። ከዚያ […]/(ሥር (2) + ሥር (6)) = […] (ሥር (2)-ሥር (6))/(ሥር (2) + ሥር (6)) (ሥር (2)-ሥር (6))። ከዚያ ለሁለት ካሬዎች ልዩነት የማንነት ቀመሩን ይጠቀሙ ((a + b) (ab) = a^2-b^2] አመላካችውን ምክንያታዊ ለማድረግ ፣ ለማቃለል (sqrt (2) + sqrt (6))) (sqrt (2) -ካሬ (6)) = ካሬ (2)^2 -ካሬ (6)^2 = 2-6 = -4።
- ይህ ደግሞ እንደ 5 + sqrt (3) ያሉ አሃዞችን ይመለከታል ምክንያቱም ሁሉም ኢንቲጀሮች የሌሎች ኢንቲጀሮች ሥሮች ናቸው። [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-ካሬ (3)^2) = (5-ካሬ (3))/(25-3) = (5-ካሬ (3))/22]
- ይህ ዘዴ እንደ ስኩዌር (5)-ስኩዌር (6)+ካሬ (7) ያሉ ሥሮች መጨመር ላይም ይሠራል። እነሱን ወደ (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) እና (+sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7) ካባዙ መልሱ በምክንያታዊ መልክ አይደለም ፣ ግን አሁንም ሀ እና ለ አስቀድሞ ምክንያታዊ ቁጥሮች ባሉበት በ+ለ*ሥር (30) ውስጥ። ከዚያ ሂደቱን ከተባባሪዎቹ ጋር ይድገሙት a+b*sqrt (30) እና (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) ምክንያታዊ ይሆናል። በመሰረቱ ፣ ይህንን ተንኮል በአጥቂው ውስጥ አንድ የስር ምልክት ለማስወገድ ከቻሉ ሁሉንም ሥሮች ለማስወገድ ብዙ ጊዜ መድገም ይችላሉ።
- ይህ ዘዴ ደግሞ ከፍ ያለ ሥር ለያዙ ዲኖተሮች ማለትም እንደ 3 ኛ አራተኛው ሥር ወይም ሰባተኛው ሥር 9. የቁጥር ቁጥሩን እና አመላካችውን በአባሪው አጣማሪ በማባዛት ሊያገለግል ይችላል። እንደ አለመታደል ሆኖ በቀጥታ የአመዛኙን ተጓዳኝ ማግኘት አንችልም እና ይህንን ለማድረግ ከባድ ነው። በቁጥር ንድፈ ሀሳብ ላይ በአልጀብራ መጽሐፍ ውስጥ መልሱን ማግኘት እንችላለን ፣ ግን ወደዚያ አልገባም።
ደረጃ 2. አሁን አመላካች በምክንያታዊ መልክ ነው ፣ ነገር ግን ቁጥሩ የተዝረከረከ ይመስላል።
አሁን ማድረግ ያለብዎት በአመዛኙ አመላካች ማባዛት ነው። ባለ ብዙ መቶዎችን እንደምናባክነው ወደፊት ይቀጥሉ እና ይባዙ። ከተቻለ ማናቸውም ውሎች ሊተው ፣ ሊቀልሉ ወይም ሊጣመሩ ይችሉ እንደሆነ ይመልከቱ።
ደረጃ 3. አመላካቹ አሉታዊ ኢንቲጀር ከሆነ አወንታዊውን ለማድረግ አሃዛዊውን እና አመላካቹን በ -1 ያባዙ።
ጠቃሚ ምክሮች
- የስር ቅጾችን ለማቃለል የሚረዱ ጣቢያዎችን በመስመር ላይ መፈለግ ይችላሉ። ቀመሩን ከሥሩ ምልክት ጋር ብቻ ይተይቡ ፣ እና Enter ን ከተጫኑ በኋላ መልሱ ይታያል።
- ለቀላል ጥያቄዎች ፣ በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ደረጃዎች ላይጠቀሙ ይችላሉ። ለተወሳሰቡ ጥያቄዎች ፣ ብዙ እርምጃዎችን ከአንድ ጊዜ በላይ መጠቀም ሊያስፈልግዎት ይችላል። የ “ቀላሉ” እርምጃዎችን ጥቂት ጊዜ ይጠቀሙ ፣ እና መልስዎ ቀደም ሲል የተወያየንበትን መደበኛ የአቀማመጥ መስፈርት የሚመጥን መሆኑን ያረጋግጡ። መልስዎ በመደበኛ ቀመር ውስጥ ከሆነ ፣ ጨርሰዋል። ግን ካልሆነ ፣ እንዲከናወኑ ለማገዝ ከላይ ከተጠቀሱት ደረጃዎች ውስጥ አንዱን መፈተሽ ይችላሉ።
- ለሥሮች ቅርፅ “የሚመከረው መደበኛ ቀመር” አብዛኛዎቹ ማጣቀሻዎች እንዲሁ ለተወሳሰቡ ቁጥሮች (i = root (-1)) ይተገበራሉ። አንድ መግለጫ ከሥሩ ይልቅ ‹i› ን ቢይዝም ፣ በተቻለ መጠን አሁንም i ን የያዙ ቁጥሮችን ያስወግዱ።
- በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ያሉት አንዳንድ መመሪያዎች ሁሉም ሥሮች ካሬዎች ናቸው ብለው ያስባሉ። ምንም እንኳን አንዳንድ ክፍሎች (በተለይም አመላካች አመክንዮአዊ) ከእነሱ ጋር ለመስራት በጣም ከባድ ቢሆኑም ፣ ተመሳሳይ አጠቃላይ መርሆዎች ለከፍተኛ ኃይሎች ሥሮች ላይ ይሠራሉ። እንደ sqr^3 (4) ወይም sqr^3 (2)^2 ያሉ ምን ዓይነት ቅርፅ እንደሚፈልጉ ለራስዎ ይወስኑ። (ብዙውን ጊዜ በመማሪያ መጽሐፍት ውስጥ ምን ዓይነት ቅጽ እንደሚመከር አላስታውስም)።
- በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ያሉት አንዳንድ መመሪያዎች “መደበኛ ፎርሙላ” የሚለውን ቃል “መደበኛ ቅጽ” ለመግለጽ ይጠቀማሉ። ልዩነቱ መደበኛ ቀመር 1+ካሬ (2) ወይም ስኩዌር (2) +1 ቅጹን ብቻ በመቀበል ሌሎቹን ቅጾች እንደ መደበኛ ያልሆኑ አድርጎ መቁጠሩ ነው። ግልጽ ቅጽ እርስዎ አንባቢ ፣ የእነዚህ ሁለት ቁጥሮች “ተመሳሳይነት” ለማየት በቂ ብልህ ነው ብለው ያስባሉ (ምንም እንኳን በጽሑፍ ተመሳሳይ ባይሆኑም (‹ተመሳሳይ› ማለት በአርቲሜቲክ ንብረታቸው (ተጓዳኝ መደመር) ፣ የአልጀብራ ንብረታቸው (ሥር (2) የ x^2-2 ሥር ያልሆነ አሉታዊ ነው))። በዚህ የቃላት አጠቃቀም አጠቃቀም ላይ አንባቢዎች ትንሽ ቸልተኝነትን እንደሚረዱ ተስፋ እናደርጋለን።
- ማናቸውም ፍንጮች አሻሚ ወይም እርስ በርሱ የሚጋጩ ቢመስሉ ፣ ሁሉንም የማያሻማ እና ወጥነት ያላቸውን እርምጃዎች ያድርጉ ፣ ከዚያ የትኛውን ቅርፅ እንደሚመርጡ ይምረጡ።
